[论文解读] On wrapping the Kalman filter and estimating with the SO(2) group

Ivan Marković, Josip Ćesić+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2017

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一句话总结

本文提出了一种在SO(2)李群上扩展的卡尔曼滤波器，用于二维方向跟踪，将角度状态建模在SO(2)上，同时与欧几里得变量（如角速度和角加速度）结合。结果表明，基于数学原理的SO(2)李群EKF与标准EKF中通过启发式角度包裹方法得到的结果完全一致，验证了该方法在SO(2)及SO(2)×ℝ²系统中的有效性，真实世界中的说话人跟踪实验进一步通过动作捕捉系统提供的真值数据证实了其准确性。

ABSTRACT

This paper analyzes directional tracking in 2D with the extended Kalman filter on Lie groups (LG-EKF). The study stems from the problem of tracking objects moving in 2D Euclidean space, with the observer measuring direction only, thus rendering the measurement space and object position on the circle---a non-Euclidean geometry. The problem is further inconvenienced if we need to include higher-order dynamics in the state space, like angular velocity which is a Euclidean variables. The LG-EKF offers a solution to this issue by modeling the state space as a Lie group or combination thereof, e.g., SO(2) or its combinations with Rn. In the present paper, we first derive the LG-EKF on SO(2) and subsequently show that this derivation, based on the mathematically grounded framework of filtering on Lie groups, yields the same result as heuristically wrapping the angular variable within the EKF framework. This result applies only to the SO(2) and SO(2)xRn LG-EKFs and is not intended to be extended to other Lie groups or combinations thereof. In the end, we showcase the SO(2)xR2 LG-EKF, as an example of a constant angular acceleration model, on the problem of speaker tracking with a microphone array for which real-world experiments are conducted and accuracy is evaluated with ground truth data obtained by a motion capture system.

研究动机与目标

• 解决仅使用位于非欧几里得圆周上的方向测量值进行二维运动目标跟踪的挑战，同时引入角速度和角加速度等高阶动力学模型。
• 开发一种基于李群的数学严谨滤波框架，能够自然处理角度变量的非欧几里得几何结构，而无需启发式修正。
• 证明SO(2)上的李群EKF与启发式包裹EKF结果一致，为该特定情况下后者的应用提供了理论验证。
• 将SO(2)×ℝ²李群EKF应用于真实世界中的说话人跟踪问题，采用麦克风阵列并利用动作捕捉系统提供的真值数据进行评估。

提出的方法

• 将状态空间建模为SO(2)×ℝ²，其中SO(2)表示方位角，ℝ²表示角速度与角加速度，从而构建包含非欧几里得与欧几里得变量的混合状态空间。
• 基于矩阵李群上的滤波形式化方法，推导SO(2)上的扩展卡尔曼滤波器，包括使用指数映射与对数映射进行状态与误差传播。
• 应用李群EKF框架，利用伴随表示法以及系统与测量函数在切空间上的雅可比矩阵，计算状态预测与校正步骤。
• 使用矩阵指数传播状态转移，其转移矩阵与EKF框架中经典的恒定加速度模型一致。
• 在创新向量上使用卡方检验实施验证门控，以在真实世界麦克风阵列测量中剔除异常值。
• 采用波束成形算法提取到达方向测量值，并利用动作捕捉系统获取真值数据以评估性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于数学原理的SO(2)李群EKF是否与启发式包裹EKF在角度状态估计上产生相同结果？
• RQ2 SO(2)×ℝ²李群EKF能否有效建模方向跟踪中的高阶动力学（如恒定角加速度），并在混合非欧几里得与欧几里得状态变量下实现？
• RQ3 在存在噪声和异常值的现实方向跟踪场景中，李群EKF的性能与标准EKF方法相比如何？
• RQ4 李群EKF与包裹EKF之间的等价性是否可推广至SO(2)以外的李群，还是仅限于SO(2)的阿贝尔结构？

主要发现

• 基于李群框架推导SO(2)上的扩展卡尔曼滤波器，其结果与启发式包裹EKF完全一致，验证了后者在SO(2)系统中的适用性。
• SO(2)×ℝ²李群EKF成功实现了恒定角加速度运动模型，其状态转移矩阵与经典EKF形式一致。
• 该滤波器在真实室内环境中实现了对移动说话人的精确跟踪，图中报告了方位角与角速度的状态均方根误差（RMSE）值。
• 基于卡方检验的验证门控有效减轻了波束成形输出中测量异常值的影响。
• 真实实验结果表明，李群EKF能内在地处理角度变量的几何结构，其性能优于将角度视为欧几里得变量的朴素EKF方法。