[论文解读] On $X$-coordinates of Pell equations which are repdigits

Bernadette Faye, Florian Luca|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用 5

一句话总结

该论文证明了对于任意固定的底数 $ b \geq 2 $，仅有有限多个非完全平方的正整数 $ d $，使得佩尔方程 $ X^2 - dY^2 = 1 $ 具有两个不同的正整数解，且其 $ X $-坐标为底数 $ b $ 的重复数码数。通过利用对数线性型的界和椭圆曲线方法，作者建立了显式的上界 $ d \leq \exp\left((10b)^{10^{5}}\right) $，表明这样的 $ d $ 是有效有限且对每个 $ b $ 可计算的。该结果将先前关于佩尔方程重复数码解的研究扩展到了任意底数 $ b $ 的数字约束情形。

ABSTRACT

Let $b\ge 2$ be a given integer. In this paper, we show that there only finitely many positive integers $d$ which are not squares, such that the Pell equation $X^2-dY^2=1$ has two positive integer solutions $(X,Y)$ with the property that their $X$-coordinates are base $b$-repdigits. Recall that a base $b$-repdigit is a positive integer all whose digits have the same value when written in base $b$. We also give an upper bound on the largest such $d$ in terms of $b$.

研究动机与目标

• 确定佩尔方程 $ X^2 - dY^2 = 1 $ 是否可以存在两个不同的正整数解，使得其 $ X $-坐标为底数 $ b $ 的重复数码数。
• 将先前关于重复数码解的研究（例如在十进制中）推广到任意底数 $ b \geq 2 $，并证明此类 $ d $ 的有限性。
• 使用分析与代数数论工具，建立此类最大可能 $ d $ 的显式上界，且该上界仅依赖于 $ b $。
• 解析当 $ X_n $ 为底数 $ b $ 的重复数码数时解的结构，特别是分别分析偶数索引与奇数索引的情形。

提出的方法

• 对于偶数 $ n $，利用恒等式 $ X_{2n_1} = 2X_{n_1}^2 - 1 $ 将问题约化为椭圆曲线上整点的问题，并应用贝克对最大解高度的有效界。
• 对于奇数 $ n $，利用复对数和 $ p $-进对数线性型的下界，特别是马特维耶夫定理，推导出 $ n $、$ m $ 和 $ d $ 的有效界。
• 应用对代数数的 $ p $-进赋值和对数高度的估计，以控制解的大小与 $ b $ 的关系。
• 使用恒等式 $ X_n = \frac{1}{2} \left( \alpha^n + \alpha^{-n} \right) $，其中 $ \alpha = X_1 + \sqrt{d}Y_1 $，将 $ X_n $ 与基本单位的幂联系起来。
• 利用不等式 $ m < 2 \times 10^{17} b^6 \log n $ 控制重复数码的数位数 $ m $，该不等式由 $ p $-进和对数估计导出。
• 结合对 $ n $、$ m $ 和 $ \ell $（基本解的周期）的界，证明 $ d < \exp(10^{20} b^{10}) $，从而得出定理 1.1 中的最终上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的底数 $ b \geq 2 $，存在多少个非完全平方的 $ d $，使得佩尔方程 $ X^2 - dY^2 = 1 $ 具有两个不同的正整数解，且其 $ X $-坐标为底数 $ b $ 的重复数码数？
• RQ2 能否建立一个仅依赖于 $ b $ 的有效上界，以限制此类 $ d $ 的最大值，使得该多重性成立？
• RQ3 当 $ X_n $ 为底数 $ b $ 的重复数码数时，会引发何种结构约束，特别是解序列中偶数索引与奇数索引的情形？
• RQ4 基本单位 $ \alpha = X_1 + \sqrt{d}Y_1 $ 及其幂的性质，如何约束 $ X_n $ 在底数 $ b $ 下的数位结构？
• RQ5 文献 [6] 中的方法在多大程度上可推广至底数 $ b $ 的重复数码数？一般情形下需要引入哪些新工具？

主要发现

• 对于任意固定的 $ b \geq 2 $，仅有有限多个非完全平方的 $ d $，使得佩尔方程 $ X^2 - dY^2 = 1 $ 具有两个不同的正整数解，且其 $ X $-坐标为底数 $ b $ 的重复数码数。
• 建立了显式上界：$ d \leq \exp\left((10b)^{10^{5}}\right) $，该上界是有效的，且仅依赖于 $ b $。
• 重复数码的数位数 $ m $ 满足 $ m < 10^{20} b^7 $，解的索引 $ n $ 满足 $ n < 10^{18} b^4 $。
• 对于偶数 $ n $，分析可约化为椭圆曲线上整点问题，且使用贝克对这类点高度的界来控制解的大小。
• 对于奇数 $ n $，证明依赖于对基本单位 $ \alpha $ 应用马特维耶夫对线性型对数的下界，以推导出 $ n $ 和 $ m $ 的有效界。
• 最终对 $ d $ 的界来自 $ d < b^{2m} $，且由于 $ m < 10^{20} b^7 $，可得 $ d < \exp(10^{20} b^{10}) $，该界比文中陈述的 $ (10b)^{10^5} $ 更紧，这是由于证明过程中渐近简化所致。