[论文解读] On zero divisors and prime elements of po-semirings

Tongsuo Wu, Dancheng Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2011

Rings, Modules, and Algebras参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究有界半环中的零因子与素元，证明在温和条件下，非零零因子的集合等于 $A \setminus \{0,1ull}，且每个素元均为极大元。若 $Z(A) = A \setminus \{0,1\}$，则当元素或主零化理想满足升链条件时，$A$ 的极大元有限；并完全刻画了满足 $|Z(A)| = 1$ 或 $|Z(A)| = 2$ 且 $Z(A)^2 \neq 0$ 的有界半环，其结构由整半环决定。

ABSTRACT

A semiring is an algebraic structure similar to a ring, but without the requirement that each element must have an additive inverse. A po-semiring is a semiring equipped with a compatible bounded partial order. In this paper, properties of zero divisors and prime elements of a po-semiring are studied. In particular, it is proved that under some mild assumption the set $Z(A)$ of nonzero zero divisors of $A$ is $A\setminus \{0,1\}$, each prime element of $A$ is a maximal element, and the zero divisor graph $\G(A)$ of $A$ is a finite graph if and only if $A$ is finite. For a po-semiring $A$ with $Z(A)=A\setminus \{0,1\}$, it is proved that $A$ has finitely many maximal elements if ACC holds either for elements of $A$ or for principal annihilating ideals of $A$. As applications of prime elements, it is shown that the structure of a po-semiring $A$ is completely determined by the structure of integral po-semirings if either $|Z(A)|=1$ or $|Z(A)|=2$ and $Z(A)^2 ot=0$. Applications to the ideal structure of commutative rings are considered.

研究动机与目标

• 分析有界半环中零因子与素元的结构。
• 确定非零零因子集合等于 $A \setminus \{0,1\}$ 的条件。
• 在温和假设下，证明有界半环中的每个素元均为极大元。
• 以整有界半环为框架，完全刻画满足 $|Z(A)| = 1$ 或 $|Z(A)| = 2$ 且 $Z(A)^2 \neq 0$ 的有界半环。
• 通过有界半环理论，探索其在交换环理想结构中的应用。

提出的方法

• 利用有界半环的偏序结构，结合其局部半模性及链复形的壳化性质。
• 将有界半环视为满足 $a + a = a$ 的双环（dioid），其中偏序定义为 $a \leq b \iff a + b = b$。
• 通过条件：若 $xy \leq p$，则 $x \leq p$ 或 $y \leq p$（且 $p \neq 1$），引入并分析素元。
• 使用下主理想 $<u> = \{x \in A \mid x \leq u\}$ 与零化理想 $\text{ann}_A(u) = \{x \in A \mid xu = 0\}$ 的概念。
• 应用条件 $(C_3)$：对非幂零元 $u$，存在一个非零幂等元 $w \leq u$，且其具有正交幂等补元。
• 通过整有界半环 $A_1$ 及新增元素 $c, u$，构造满足 $|Z(A)| = 2$ 且 $Z(A)^2 = 0$ 的有界半环显式模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有界半环的非零零因子集合等于 $A \setminus \{0,1\}$？
• RQ2 在何种情况下，有界半环中的每个素元均为极大元？
• RQ3 当 $|Z(A)| = 1$ 或 $|Z(A)| = 2$ 且 $Z(A)^2 \neq 0$ 时，有界半环的结构如何？
• RQ4 当元素或主零化理想满足升链条件时，若 $Z(A) = A \setminus \{0,1\}$，其极大元的有限性如何受到影响？
• RQ5 能否通过有界半环理论框架恢复或分析交换环的理想结构？

主要发现

• 在温和假设下，非零零因子集合 $Z(A)$ 等于 $A \setminus \{0,1\}$，意味着除 0 和 1 外的所有元素均为零因子。
• 在有界半环中，每个素元均为极大元，即不存在严格介于素元与 1 之间的真元素。
• 若 $Z(A) = A \setminus \{0,1\}$，则当元素或主零化理想满足升链条件时，$A$ 的极大元有限。
• 满足 $|Z(A)| = 1$ 或 $|Z(A)| = 2$ 且 $Z(A)^2 \neq 0$ 的有界半环，其结构完全由一个整有界半环决定。
• 本文通过基整有界半环 $A_1$ 及两个新元素 $c, u$，结合特定的加法与乘法规则，构造了满足 $|Z(A)| = 2$ 且 $Z(A)^2 = 0$ 的有界半环显式模型。
• 在降链条件与条件 $(C_3)$ 下，有界半环 $A$ 同构于 $A_1$ 或 $\{0,1\}^{(n)} \times A_1$，其中 $A_1$ 满足所有极小元 $c$ 有 $c^2 = 0$，且 $A_1$ 上降链条件成立。