[论文解读] On zeta functions composed by the Hurwitz and periodic zeta functions

Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Analytic Number Theory Research被引用 1

一句话总结

本文研究由 Hurwitz 和周期 zeta 函数构成的 zeta 函数的实零点，证明在特定参数条件下，如 $ Y(s,a) $、$ X(s,a) $、$ Z(s,a) $ 和 $ P(s,a) $ 等组合仅在负整数处具有单重实零点。文章建立了零点位置的精确判据，并分析了渐近行为，为扩展 Selberg 类及 $ L $-函数的函数方程做出了贡献。

ABSTRACT

In this paper, we show the following; (1) The periodic zeta function ${ m{Li}}_s (e^{2\pi ia})$ with $0<a<1/2$ or $1/2 < a <1$ does not vanish on the real line. (2) All real zeros of $Y(s,a):=\zeta (s,a) - \zeta (s,1-a)$, $O(s,a) := -i { m{Li}}_s (e^{2\pi ia}) + i{ m{Li}}_s (e^{2\pi i(1-a)})$ and $X(s,a) := Y(s,a) + O(s,a)$ with $0 < a < 1/2$ are simple and at only the negative odd integers. (3) All real zeros of $Z(s,a):=\zeta (s,a) + \zeta (s,1-a)$ are simple and on only the non-positive even integers if and only if $1/4 \le a \le 1/2$. (4) All real zeros of $P(s,a):={ m{Li}}_s (e^{2\pi ia}) + { m{Li}}_s (e^{2\pi i(1-a)})$ are simple and on only the negative even integers if and only if $1/4 \le a \le 1/2$. Moreover, the asymptotic behavior of real zeros of $Z(s,a)$ and $P(s,a)$ are studied when $0 < a < 1/4$. We also give some remarks related to the functional equations of the Riemann and Dedekind zeta functions, and the extended Selberg class. Especially, we give $L$-functions can be expanded in a Dirichlet series converges somewhere and fulfill the functional equation that appeared in Hamburger's or Hecke's theorem. Furthermore, we construct $L$-functions in the extended Selberg class of degree 2 whose all real zeros of are at only the non-positive even or odd integers but infinitely many complex zeros are in the half-plane $\sigma >1$ and strips $0 < \sigma <1/2$ and $1/2 < \sigma <1$.

研究动机与目标

• 确定由 Hurwitz 和周期 zeta 函数构成的 zeta 函数中实零点的位置与重数。
• 为参数 $ a \in (0,1) $ 建立必要且充分的条件，使得实零点仅出现在负整数处。
• 研究当 $ 0 < a < 1/4 $ 时，$ Z(s,a) $ 和 $ P(s,a) $ 的实零点的渐近行为。
• 探讨 Riemann 和 Dedekind zeta 函数的函数方程与扩展 Selberg 类中 $ L $-函数之间的联系。
• 构造扩展 Selberg 类中度为 2 的 $ L $-函数，使其所有实零点仅位于非正偶数或奇数处，且在临界带内有无穷多个复零点。

提出的方法

• 分析周期 zeta 函数 $ \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) $ 在 $ 0 < a < 1/2 $ 或 $ 1/2 < a < 1 $ 时的情形，证明其在实轴上不为零。
• 定义并研究 $ Y(s,a) = \zeta(s,a) - \zeta(s,1-a) $，$ O(s,a) = -i\text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + i\text{Li}_s(e^{2\pi i(1-a)}) $，以及 $ X(s,a) = Y(s,a) + O(s,a) $。
• 研究 $ Z(s,a) = \zeta(s,a) + \zeta(s,1-a) $ 和 $ P(s,a) = \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + \text{Li}_s(e^{2\pi i(1-a)}) $，重点关注零点分布。
• 利用函数方程和 Dirichlet 级数的性质分析扩展 Selberg 类中的 $ L $-函数。
• 构造度为 2 的 $ L $-函数，其在 $ \sigma > 1 $、$ 0 < \sigma < 1/2 $ 和 $ 1/2 < \sigma < 1 $ 区域内具有指定的实零点与复零点。
• 对 $ 0 < a < 1/4 $ 时 $ Z(s,a) $ 和 $ P(s,a) $ 的实零点进行渐近分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ a \in (0,1) $ 值，函数 $ Y(s,a) $、$ X(s,a) $、$ Z(s,a) $ 和 $ P(s,a) $ 仅在负奇数或偶数整数处具有实零点？
• RQ2 当 $ 0 < a < 1/4 $ 时，$ Z(s,a) $ 和 $ P(s,a) $ 的实零点具有何种渐近行为？
• RQ3 能否在扩展 Selberg 类中构造度为 2 的 $ L $-函数，使得所有实零点位于非正偶数或奇数处，且复零点分布在 $ \sigma > 1 $、$ 0 < \sigma < 1/2 $ 和 $ 1/2 < \sigma < 1 $ 区域？
• RQ4 Riemann 和 Dedekind zeta 函数的函数方程如何与所构造 $ L $-函数的 Dirichlet 级数展开及函数方程相关联？
• RQ5 在 $ 0 < a < 1/2 $ 或 $ 1/2 < a < 1 $ 时，$ \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) $ 在实轴上不为零的条件是什么？

主要发现

• 当 $ 0 < a < 1/2 $ 或 $ 1/2 < a < 1 $ 时，周期 zeta 函数 $ \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) $ 在实轴上不为零。
• 当 $ 0 < a < 1/2 $ 时，$ Y(s,a) $、$ O(s,a) $ 和 $ X(s,a) $ 的所有实零点均为单重，且仅位于负奇数整数处。
• 当且仅当 $ 1/4 \leq a \leq 1/2 $ 时，$ Z(s,a) = \zeta(s,a) + \zeta(s,1-a) $ 的所有实零点均为单重，且仅位于非正偶数整数处。
• 当且仅当 $ 1/4 \leq a \leq 1/2 $ 时，$ P(s,a) = \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + \text{Li}_s(e^{2\pi i(1-a)}) $ 的所有实零点均为单重，且仅位于负偶数整数处。
• 当 $ 0 < a < 1/4 $ 时，$ Z(s,a) $ 和 $ P(s,a) $ 的实零点表现出特定的渐近行为，尽管其精确位置不限于整数。
• 本文构造了扩展 Selberg 类中度为 2 的 $ L $-函数，其所有实零点位于非正偶数或奇数处，且在 $ \sigma > 1 $、$ 0 < \sigma < 1/2 $ 和 $ 1/2 < \sigma < 1 $ 区域内有无穷多个复零点。