[论文解读] Once more on comparison of tail index estimators

Vygantas Paulauskas, Marijus Vaičiulis|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 22被引用 12

一句话总结

本文比较了重尾分布尾指数的 Hill、Pickands 和 de Vries 估计量与一种基于分组数据顺序统计量的新估计量的性能。在二阶正则变异性条件下，研究推导了最优样本分数，并表明在某些参数区域内，新估计量优于 Hill 和 de Vries 估计量，而 Pickands 估计量与新估计量在 (α, β) 平面的特定区域内占优。

ABSTRACT

We consider heavy-tailed distributions and compare the well-known estimators of the tail index, based on extreme value theory with a comparatively recent estimator based on a different idea.

研究动机与目标

• 在二阶正则变异性条件下，比较经典尾指数估计量（Hill、Pickands 和 de Vries）的渐近性能。
• 评估一种基于随机紧致凸稳定集的分组顺序统计量推导出的新估计量。
• 在二阶条件下，确定每种估计量的最优样本分数。
• 通过渐近相对效率，比较新估计量与现有估计量的均方误差（MSE）。
• 识别新估计量在 (α, β) 参数区域内占优或被占优的区域。

提出的方法

• 通过将样本划分为 n 组，每组大小为 m，计算每组中第二大的顺序统计量与最大顺序统计量的比值，构造新估计量。
• 估计量定义为各组比值的平均值：$ Z_n = n^{-1} ar{S}_n $，其中 $ S_n = ar{S}_n $ 为组内比值的总和。
• 在二阶条件 $ 1 - F(x) = C_1 x^{-eta} + C_2 x^{-eta} + o(x^{-eta}) $ 下，推导出渐近正态性与最优样本分数选择，其中 $ 0 < \beta < \beta \neq \beta $。
• 通过最小化渐近均方误差，推导出每种估计量的最优样本分数 $ k^{(j)}_{\text{opt}}(N) $。
• 通过均方误差极限比计算渐近相对效率：$ RMMSE(j) = \frac{\mathbb{E}(\hat{p} - p)^2}{\mathbb{E}(p_{N,k}^{(j)} - p)^2} $。
• 在 (α, β) 和 (γ, ρ) 平面中进行图形比较，以可视化各估计量的占优区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 (α, β) 平面的哪些区域内，新分组估计量的渐近均方误差低于 Hill 估计量？
• RQ2 新估计量在不同二阶参数取值下的性能与 Pickands 和 de Vries 估计量相比如何？
• RQ3 在二阶正则变异性条件下，新估计量的最优样本分数 $ k $ 是什么？
• RQ4 在渐近相对效率方面，新估计量在何种条件下占优或被经典估计量占优？
• RQ5 当重新参数化为 (γ, ρ) 而非 (α, β) 时，各估计量的占优区域如何变化？

主要发现

• Hill 估计量 ($ p_{N,k}^{(1)} $) 的渐近均方误差高于新估计量 $ \hat{p} $，因为对所有 $ 0 < \alpha < \beta $，均有 $ RMMSE(1) > 1 $。
• de Vries 估计量 ($ p_{N,k}^{(4)} $) 同样优于新估计量，因为不等式 $ (\alpha+1)^6 - 4\alpha^3(\alpha+2) > 0 $ 成立，导致 $ RMMSE(4) > 1 $。
• 在 $ RMMSE(2) < 1 $ 的区域内，新估计量 $ \hat{p} $ 优于 Pickands 估计量 ($ p_{N,k}^{(2)} $)，如图 1a 所示。
• 在 $ RMMSE(3) < 1 $ 的区域内，新估计量主导 $ p_{N,k}^{(3)} $ 估计量，如图 1b 所示。
• 在图 1c 中，新估计量以深灰色表示（占优），Pickands 以黑色表示，$ p_{N,k}^{(3)} $ 以浅灰色表示，清晰显示出在特定 (α, β) 区域内的占优性。
• 渐近相对效率比 $ RMMSE(j) $ 以闭式表达，涉及参数 $ \alpha, \beta, \zeta $ 和伽马函数 $ \Gamma(\cdot) $，显式依赖于 $ \eta(\alpha, \beta) $。