[论文解读] One-clock synthesis problems

Sławomir Lasota, Mathieu Lehaut+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2026

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一句话总结

本文证明当获胜集由单时钟的非确定性 Timed Automata（NTA1）给出时，八种定时反应/Church 合成变体仍然不可判定，并且刻画何时有限记忆策略足以实现。

ABSTRACT

We study a generalisation of Büchi-Landweber games to the timed setting. The winning condition is specified by a non-deterministic timed automaton, and one of the players can elapse time. We perform a systematic study of synthesis problems in all variants of timed games, depending on which player's winning condition is specified, and which player's strategy (or controller, a finite-memory strategy) is sought. As our main result we prove ubiquitous undecidability in all the variants, both for strategy and controller synthesis, already for winning conditions specified by one-clock automata. This strengthens and generalises previously known undecidability results. We also fully characterise those cases where finite memory is sufficient to win, namely existence of a strategy implies existence of a controller. All our results are stated in the timed setting, while analogous results hold in the data setting where one-clock automata are replaced by one-register ones.

研究动机与目标

• 将 Büchi-Landweber 博弈推广到以单时钟自动机作为获胜条件的定时设定。
• 系统性研究所有变体下的合成与 Church 合成问题。
• 即使在 NTA1 获胜条件下，亦建立这八个问题变体的不可判定性。
• 在何时有限记忆策略足以实现进行表征（策略与控制器之分）。
• 将与数据驱动模型（NRA1）及先前结果建立联系。

提出的方法

• 定义具有不对称经过的定时博弈，包含两名玩家（Timer 与 Monitor）。
• 用单时钟 NTA（或 NTA^res）建模获胜条件并分析相应语言。
• 通过四个从损失计数器机器的归约（有界性与重复可达性）来证明不可判定性。
• 在特定情形下利用区域构造和有限记忆论证，显示策略与控制器之间的等价性。
• 在 owner=Monitor 时，利用区域构造对 Monitor 的时钟和记忆进行上界限定。
• 给出详细的、基于案例的证明结构，澄清何时有限记忆足以成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当获胜条件由 NTA1 给出时，八变体定时合成问题可判定吗？
• RQ2 在所有变体中，是否存在一个获胜的有限记忆控制器就意味着存在获胜策略？
• RQ3 在哪些配置（Owner、Agent）下，在 NTA1 获胜集下策略与控制器的概念是一致的？
• RQ4 是否可以将一时钟获胜集的定时博弈的不可判定性结果推广到数据导向的 NRA1 设置？
• RQ5 在获胜集由 Timer 指定的“困难情形”中，为证明不可判定性需要哪些归约？

主要发现

• 即使获胜集由 NTA1 给出，八种合成变体仍不可判定。
• 在 Monitor 为拥有者的情形下，只有当 Monitor 的获胜集为 NTA1 时（且对 Timer 为拥有者的可达性情形），有限记忆才足够。
• 存在有限记忆性质不成立的情形（例如 Timer 作为求解者且其获胜集被指定时，或对手的获胜集被指定时）。
• 策略与控制器在两种情形下等价： (i) Owner=Agent=Timer 且为 reach-NTA1，(ii) Owner=Agent=Monitor 且为 NTA1。
• 不可判定性结果扩展到数据设定（NRA1），见后续完整版本的说明。