[论文解读] One-dimensional abstract local class field theory

Ivan D. Chipchakov|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文为满足特定布列鲁尔群条件的域 E 建立了一维抽象局部类域论：当 E 严格包含于其最大 p-扩张时，Br(E) 的非平凡 p-分量成立；且对每个循环 p-扩张 L/E，有 Br(L/E) 等于 Br(E) 中最大 p-幂次子群。本文证明了 E 的有限交换扩张被其诺姆群唯一确定，且建立了基本对应、局部互惠律与哈塞符号的类比，从而在抽象设定下推广了经典局部类域论。

ABSTRACT

Abstract. Let E be a field satisfying the following conditions: (i) the p-component of the Brauer group Br(E) is nontrivial whenever p is a prime number for which E is properly included in its maximal p-extension; (ii) the relative Brauer group Br(L/E) equals the maximal subgroup of Br(E) of exponent p, for every cyclic extension L/E of degree p. The paper proves that finite abelian extensions of E are uniquely determined by their norm groups and related essentially as in the classical local class field theory. This includes analogues to the fundamental correspondence, the local reciprocity law and the local Hasse symbol.

研究动机与目标

• 使用布列鲁尔群条件，在一维设定下发展抽象的局部类域论框架。
• 通过用上同调与群论公理替代局部域假设，推广经典局部类域论。
• 在给定的布列鲁尔群约束下，证明 E 的有限交换扩张被其诺姆群唯一确定。
• 在该抽象设定下建立基本对应、局部互惠律与哈塞符号的类比。
• 刻画循环 p-扩张中相对布列鲁尔群的结构，其为绝对布列鲁尔群中最大 p-挠子群。

提出的方法

• 假设对每个素数 p，当 E 严格包含于其最大 p-扩张时，布列鲁尔群 Br(E) 的 p-分量非平凡。
• 施加条件：对每个度数为 p 的循环扩张 L/E，相对布列鲁尔群 Br(L/E) 是 Br(E) 中指数为 p 的最大子群。
• 利用这些公理由推导 E 的有限交换扩张的诺姆群性质。
• 应用上同调技术，将 Br(E) 的结构与伽罗瓦上同调及类域论对偶性联系起来。
• 通过诺姆群在 E 的绝对伽罗瓦群的开有限指数子群之间建立双射对应。
• 构造局部互惠映射与哈塞符号，作为经典局部类域论中不变量的抽象类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种布列鲁尔群条件下，有限交换扩张的诺姆群足以唯一确定该扩张？
• RQ2 在不假设 E 为局部域的前提下，如何在抽象设定下重构经典局部互惠律？
• RQ3 对循环 p-扩张 L/E，相对布列鲁尔群 Br(L/E) 在多大程度上反映 Br(E) 的结构？
• RQ4 基本对应与哈塞符号能否推广至仅满足布列鲁尔群上同调公理的域？
• RQ5 Br(E) 的何种抽象条件可确保阿贝尔扩张的诺姆群完全分类这些扩张？

主要发现

• 在给定的布列鲁尔群公理下，E 的有限交换扩张被其诺姆群唯一确定。
• 局部互惠映射存在，且是从 E 的乘法群的完备化到 E 的绝对伽罗瓦群的交换化之间的同构。
• 哈塞符号定义良好，取值于 Br(E) 的 p-挠子群，推广了经典的局部符号。
• 对每个度数为 p 的循环扩张 L/E，相对布列鲁尔群 Br(L/E) 同构于 Br(E) 中指数为 p 的最大子群。
• 通过诺姆群，有限交换扩张与 Gal(E^s/E) 的开有限指数子群之间存在基本对应。
• 当 E 为局部域时，该理论恢复经典局部类域论，表明公理与经典情形一致。