[论文解读] One-dimensional Brownian particle systems with rank dependent drifts

Soumik Pal, Jim Pitman|ArXiv.org|Apr 6, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文研究一维布朗运动粒子系统，其漂移依赖于粒子的排序，证明对于有限系统，有序粒子间的间距收敛到具有不同均值的独立指数分布的唯一平稳分布。对于仅最小粒子具有正漂移的无限系统，i.i.d. 指数间距保持平稳，从而在排序依赖粒子系统中建立了一类新的平稳过程。

ABSTRACT

We study interacting systems of linear Brownian motions whose drift vector at every time point is determined by the relative ranks of the coordinate processes at that time. Our main objective has been to study the long range behavior of the spacings between the Brownian motions arranged in increasing order. For finitely many Brownian motions interacting in this manner, we characterize drifts for which the family of laws of the vector of spacings is tight, and show its convergence to a unique stationary joint distribution given by independent exponential distributions with varying means. We also study one particular countably infinite system, where only the minimum Brownian particle gets a constant upward drift, and prove that independent and identically distributed exponential spacings remain stationary under the dynamics of such a process. Some related conjectures in this direction have also been discussed.

研究动机与目标

• 表征漂移条件，使得有限系统中N个有序布朗运动粒子的间距在分布上收敛到唯一的平稳联合分布。
• 研究有限系统中排序依赖布朗运动间距的长期行为。
• 建立在仅最小粒子具有正漂移的可数无限系统中，间距的存在性与平稳性。
• 探索此类粒子系统与排队过程（包括零通量过程和布朗运动排队）之间的联系。
• 解决关于具有通用漂移序列的排序依赖扩散过程的稳定性与遍历性方面的猜想。

提出的方法

• 建立一个SDE系统，其中每个粒子的漂移由其在所有粒子中的当前排序决定。
• 使用随机微积分和Girsanov定理，分析测度变换下的粒子系统分布。
• 应用Donsker不变性原理，将离散排除过程与连续布朗运动模型联系起来。
• 采用耦合技术与总变差距离估计，比较有限系统与无限系统。
• 推导出有限系统中间距分布与极限平稳分布之间总变差距离的显式界。
• 证明间距过程的紧致性，并在适当的漂移条件下，证明其收敛到具有不同均值的独立指数分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种漂移序列条件下，排序依赖布朗运动的有限系统间距收敛到唯一的平稳分布？
• RQ2 在仅最小粒子具有正漂移δ > 0的无限系统中，间距能否在长时间内保持平稳？若能，其漂移配置条件为何？
• RQ3 Banner、Fernholz与Karatzas提出的漂移序列条件是否对解过程的稳定性而言既必要又充分？
• RQ4 有限系统中的间距与无限系统极限下的间距有何关系，特别是在收敛性与平稳性方面？
• RQ5 排序依赖布朗运动与排队过程（如零通量过程或布朗运动排队）之间存在何种联系？

主要发现

• 对于任意具有排序依赖漂移的N个布朗运动粒子的有限系统，间距分布族的紧致性当且仅当漂移序列满足特定条件（定理8）成立，该条件对收敛性而言既必要又充分。
• 间距的极限平稳分布为具有不同均值的独立指数分布的乘积，其均值由漂移序列显式确定。
• 在仅最小粒子具有正漂移δ > 0的无限系统中，间距在动力学下保持i.i.d.指数分布，从而确立了一类新的平稳解。
• 有限系统间距分布向平稳分布的收敛性通过总变差距离得到量化，当N → ∞且N/J² → ∞（J固定）时，距离趋于零。
• 证明依赖于测度变换技术和耦合论证，以控制有限系统与无限系统之间路径不一致的概率。
• 本文证实，Banner、Fernholz与Karatzas提出的漂移条件在有限情况下对解的存在性与稳定性而言既必要又充分。