[论文解读] One dimensional Convolutional Goppa Codes over the projective line

J. A. Domínguez Pérez, José M. Muñoz Porras+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在射影直线上使用代数曲线上的线性系统导出的多项式生成元，构造一维MDS卷积Goppa码的广义方法。证明了特定家族的这些码——由幂次线性形式构成的生成矩阵定义——满足Singleton界，因而为MDS码，推广了先前的构造方法，并表明MDS码在参数空间中构成一个余维数为零的开子集。

ABSTRACT

We give a general method to construct MDS one-dimensional convolutional codes. Our method generalizes previous constructions of H. Gluesing-Luerssen and B. Langfeld. Moreover we give a classification of one-dimensional Convolutional Goppa Codes and propose a characterization of MDS codes of this type.

研究动机与目标

• 开发一种使用代数-几何技术在射影直线上构造一维MDS卷积码的一般方法。
• 通过射影直线上Goppa码理论，将先前MDS卷积码的构造方法推广至更广泛的类别。
• 对射影直线上的一维卷积Goppa码进行分类，并为表征此类MDS码提供一个框架。
• 建立一维MDS卷积Goppa码在参数空间中为通用的结论，即构成一个余维数为零的开子集。

提出的方法

• 通过在 $ \mathbb{P}^1 $ 上的除子 $ G $（其度数为 $ r-s $）的Riemann-Roch空间 $ L(G) $ 的子空间构造一维卷积Goppa码。
• 使用形如 $ \mathcal{G} = \sum_{i=s}^{r} \lambda_i (a_j z + b_j)^i $ 的多项式生成矩阵，其中 $ \lambda_i \in \mathbb{F}_q $，来定义码。
• 应用通过其块码评估表征MDS卷积码的方法：若所有 $ j $-阶块码的汉明距离为 $ n - j $，则码为MDS。
• 采用广义Singleton界 $ n(r+1) $ 作为自由距离的理论上限，当码为MDS时该界可达到。
• 利用基本生成矩阵的 $ k \times k $ 子式的最大公因数为1的事实，确保矩阵为规范形式并定义了一个合适的子模。
• 分析多项式分解 $ \mathcal{G} = \sum_{j=0}^r G_j z^j $，其中每个 $ G_j $ 对应一个块码，并验证这些块码的MDS性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种通用方法，利用射影直线上代数-几何技术构造一维MDS卷积码？
• RQ2 生成矩阵需满足何种条件，才能保证一维卷积Goppa码为MDS？
• RQ3 如何利用Riemann-Roch空间 $ L(G) $ 的结构对射影直线上的一维卷积Goppa码进行分类？
• RQ4 MDS一维卷积Goppa码的集合在所有此类码的参数空间中是否为余维数为零的开子集？
• RQ5 能否显式确定一维卷积Goppa码的MDS性质表征？

主要发现

• 本文构造了显式的一维MDS卷积Goppa码家族，其生成矩阵形式为 $ \mathcal{G} = \big( (a_1 z + b_1)^r, \dots, (a_n z + b_n)^r \big) $，其中 $ b_i / a_i = c^{i-1} $，$ c $ 为 $ \mathbb{F}_q $ 中的本原元，并证明其为MDS码。
• 当 $ s = r $ 时，码 $ CGC(n,1) $ 的生成矩阵为 $ \mathcal{G} = \big( a_1^r (z+1)^r, \dots, a_n^r (z + c^{n-1})^r \big) $，其为规范且MDS码，达到自由距离 $ n(r+1) $。
• 当 $ s = 0 $ 时，若 $ b_i = b $ 且 $ a_i = a^{i-1} $，则生成矩阵 $ \mathcal{G} = \sum_{i=0}^r \sum_{j=0}^i \binom{i}{j} b^{i-j} a^{(j)(i-1)} z^j $ 生成一个度数为 $ r $、自由距离为 $ n(r+1) $ 的MDS码。
• 一维卷积Goppa码中MDS类型的集合在射影空间 $ \mathbb{P}^r_{\mathbb{F}_q} $ 中构成一个余维数为零的开子集，意味着几乎所有此类码均为MDS码。
• 该构造推广了Gluesing-Langfeld的先前结果，当 $ b_i = 0 $ 时，其MDS码类即为本构造的一个特例。
• 本文建立MDS性质在参数空间中为开条件，且由于至少存在一个MDS码，因此MDS轨迹非空且余维数为零。