[论文解读] One-dimensional Fermi gas with a single impurity in a harmonic trap: Perturbative description of the upper branch

Seyed Ebrahim Gharashi, X.Y. Yin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种微扰框架，用于计算一维谐振子势阱中具有单个杂质的费米气体的相互作用能，基于反相互作用强度 $\gamma$ 的弱耦合和强耦合展开。该方法在广泛耦合强度范围内提供了上分支能量的精确解析表达式，包含至 $\gamma^{-3}$ 的收敛性边界和系统性修正，并与 $N=1,2,3$ 和 $N\to\infty$ 的数值基准结果进行了验证。该方法可实现对如跃迁率和有效自旋模型等物理可观测量的可靠预测。

ABSTRACT

The transition from "few to many" has recently been probed experimentally in an ultra cold harmonically confined one-dimensional lithium gas, in which a single impurity atom interacts with a background gas consisting of one, two, or more identical fermions [A. N. Wenz {\em{et al.}}, Science {\bf{342}}, 457 (2013)]. For repulsive interactions between the background or majority atoms and the impurity, the interaction energy for relatively moderate system sizes was analyzed and found to converge toward the corresponding expression for an infinitely large Fermi gas. Motivated by these experimental results, we apply perturbative techniques to determine the interaction energy for weak and strong coupling strengths and derive approximate descriptions for the interaction energy for repulsive interactions with varying strength between the impurity and the majority atoms and any number of majority atoms.

研究动机与目标

• 开发一维谐振子势阱中具有单个杂质和排斥性短程相互作用的费米气体上分支能量的系统性微扰描述。
• 将微扰理论扩展至弱耦合和强耦合区域的高阶项，实现在广泛耦合强度范围内的精确能量预测。
• 为任意多数费米子数 $N$ 提供 $\gamma$ 和 $\gamma^{-1}$ 的三阶解析展开式，并给出收敛性边界。
• 将微扰结果与精确的数值少体能量进行基准对比，评估其有效范围。
• 实现对超冷原子系统中如跃迁率和有效自旋模型等实验可观测量的可靠预测。

提出的方法

• 将莱希-施罗丁格微扰理论应用于具有零范围两体相互作用的谐振子束缚 $(N,1)$ 系统的哈密顿量。
• 将上分支能量按 $\gamma$（弱耦合）和 $\gamma^{-1}$（强耦合）的幂级数展开，系数逐阶推导。
• 通过在粒子简并处波函数导数的不连续性，利用边界条件来建模接触相互作用。
• 基于 $N=1,2,3,\infty$ 的数值数据，拟合非普适的 $N$-依赖系数，以获得适用于所有 $N$ 的近似表达式。
• 在弱耦合区域系统性地包含至 $\gamma^3$ 的修正，在强耦合区域包含至 $\gamma^{-3}$ 的修正。
• 将微扰结果与数值精确能量进行比较，以验证精度并确定 $N=1$ 和 $N\to\infty$ 情况下的收敛半径。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱耦合与强耦合区域，$\gamma$ 和 $\gamma^{-1}$ 的微扰展开能否对一维谐振子势阱中具有单个杂质的费米气体的上分支能量提供精确描述？
• RQ2 在 $\gamma$ 和 $\gamma^{-1}$ 级数中的收敛行为如何？$N=1$ 和 $N\to\infty$ 情况下的收敛半径是多少？
• RQ3 在高阶项中，展开系数的行为如何？高阶修正对能量预测的影响是什么？
• RQ4 该微扰框架在有限 $N$ 和热力学极限下，特别是在强耦合区域，能多大程度上描述能量？
• RQ5 微扰结果能否可靠地用于估计跃迁率或评估此类系统中有效自旋模型的适用范围？

主要发现

• 在弱排斥区域，$\gamma$ 展开至 $\gamma^3$ 的微扰展开能对所有 $N$ 提供可靠的上分支能量描述。
• 在强耦合区域，$\gamma^{-1}$ 展开至 $\gamma^{-3}$ 的微扰展开能提供广泛耦合强度范围内的精确能量预测，尤其在强相互作用区域表现优异。
• 对于 $N=2$，二阶修正 $\delta_2^{(s)}(2,3) = -2.31(12)$ 的绝对值远大于一阶项，表明在大 $\gamma$ 时微扰级数表现出非单调行为，导致图 4(c) 中虚线出现拐点。
• 在强耦合区域，$\gamma^{-1}$ 级数的收敛半径较小，限制了其在极大约 $\gamma$ 下的适用性，但该方法在中等至大 $\gamma$ 下仍保持高精度。
• 微扰结果与数值精确能量进行基准对比，显示良好一致性；然而，在大 $\gamma$ 时，$\delta(3,\infty)$ 和 $\delta(2,3)$ 的误差条过大，无法进行有意义的比较。
• 该框架可实现对跃迁率的可靠估计，并可用于评估超冷费米系统中有效自旋模型的适用范围。