[论文解读] One-dimensional foliations on topological manifolds

Sergiy Maksymenko, Eugene Polulyakh|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文为当 $ X $ 是 $ n+1 $ 维拓扑流形、$ \Delta $ 是所有叶子均为非紧致的 1 维叶状结构，且特殊叶子（叶空间非豪斯多夫的叶子）的集合局部有限时，商映射 $ p: X \to X/\Delta $ 为局部平凡纤维丛的必要与充分条件提供了证明。关键结果通过叶空间的拓扑性质，在 $ C^0 $ 范畴内刻画了纤维丛结构，将卡普兰（Kaplan）等人的经典结果推广至非光滑、非豪斯多夫的设定。

ABSTRACT

Let $X$ be an $(n+1)$-dimensional manifold, $Δ$ be a one-dimensional foliation on $X$, and $p: X o X / Δ$ be a quotient map. We will say that a leaf $ω$ of $Δ$ is special whenever the space of leaves $X / Δ$ is not Hausdorff at $ω$. We present necessary and sufficient conditions for the map $p: X o X / Δ$ to be a locally trivial fibration under assumptions that all leaves of $Δ$ are non-compact and the family of all special leaves of $Δ$ is locally finite.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，一维叶状结构在拓扑流形上的商映射 $ p: X \to X/\Delta $ 为局部平凡纤维丛。
• 将关于纤维丛与拟调和函数的经典结果（如卡普兰的工作）推广至 $ C^0 $ 范畴，无需光滑性假设。
• 以叶空间 $ X/\Delta $ 的拓扑特性来刻画纤维丛性质，特别关注特殊叶子处的非豪斯多夫行为。
• 将先前关于非紧致曲面与带状叶状结构的结果推广至任意 $ (n+1) $ 维拓扑流形。

提出的方法

• 使用叶状图册与极大叶状图册来定义 $ X $ 上的叶状结构，确保其具有局部积结构。
• 将‘特殊’叶子定义为叶空间 $ X/\Delta $ 不满足豪斯多夫性的那些叶子，并假设其族局部有限。
• 应用 E. 迈克尔的选择定理与卡捷托夫- tong 正则空间刻画方法，构造连续截面。
• 利用下半连续性与等度 $ LC^k $ 性质，为与叶子端点相关的多值映射 $ a, b: V \to \mathcal{E}(X) $ 构造连续选择。
• 使用流形 $ X $ 的双重 $ \widehat{X} $，通过对合与截面的延拓，将边界情形约化为无边情形。
• 通过截面的饱和性证明其像在叶状同胚意义下同胚于 $ \mathbb{R} \times V $，从而推出局部平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在叶空间 $ X/\Delta $ 的何种拓扑条件下，商映射 $ p: X \to X/\Delta $ 为局部平凡纤维丛？
• RQ2 当所有叶子均为非紧致且特殊叶子局部有限时，如何仅通过叶空间的拓扑性质来刻画纤维丛性质？
• RQ3 卡普兰关于 $ \mathbb{R}^2 $-叶状结构的经典结果能否推广至一般拓扑流形且无需光滑性假设？
• RQ4 叶子端集的连续选择在构造商映射的局部平凡化中起到何种作用？

主要发现

• 当且仅当特殊叶子的集合局部有限，且叶空间 $ X/\Delta $ 满足某些拓扑正则性条件（特别是与非紧致叶子端点行为相关）时，商映射 $ p: X \to X/\Delta $ 为局部平凡纤维丛。
• 多值映射 $ a $ 与 $ b $ 存在连续截面（分别将叶邻域中的每一点映射到该叶子的两个端点）是局部平凡性的充要条件。
• 此类截面的构造依赖于端集的下半连续性与等度 $ LC^k $ 性质，这些性质通过局部叶状嵌入与可缩性论证得以建立。
• 流形的双重 $ \widehat{X} $ 允许将边界情形约化为无边情形，从而在无边界障碍时可应用选择定理。
• 该结果适用于 $ C^0 $ 范畴，即无需光滑性假设，这与以往在光滑或 Serre 纤维丛设定下的工作形成区分。