[论文解读] One-dimensional maps and Poincaré metric

Grzegorz Świątek|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 1990

Analytic and geometric function theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文利用庞加莱度量，发展了一维映射复合的畸变控制技术，证明了在科贝原理条件下联合畸变有界，并表明总非线性度较小的近乎分式线性映射可被仿射映射良好逼近。该框架被应用于建立临界圆周映射的刚性结果。

ABSTRACT

Invertible compositions of one-dimensional maps are studied which are assumed to include maps with non-positive Schwarzian derivative and others whose sum of distortions is bounded. If the assumptions of the Koebe principle hold, we show that the joint distortion of the composition is bounded. On the other hand, if all maps with possibly non-negative Schwarzian derivative are almost linear-fractional and their nonlinearities tend to cancel leaving only a small total, then they can all be replaced with affine maps with the same domains and images and the resulting composition is a very good approximation of the original one. These technical tools are then applied to prove a theorem about critical circle maps.

研究动机与目标

• 分析具有非正施瓦茨导数的一维映射复合的畸变特性。
• 在总非线性度有界的条件下，将畸变控制扩展至可能具有非负施瓦茨导数的映射。
• 开发工具，用于在非线性度几乎抵消时，以仿射映射逼近复杂的映射复合。
• 将这些技术应用于证明临界圆周映射的刚性定理。
• 建立科贝原理确保复合中统一畸变界成立的条件。

提出的方法

• 应用科贝原理控制具有非正施瓦茨导数的映射复合中的畸变。
• 使用庞加莱度量测量畸变，并建立映射复合联合畸变的界。
• 为可能具有非负施瓦茨导数的映射引入总非线性度的概念。
• 表明若总非线性度较小，则可在复合中用仿射映射替代这些映射，误差可忽略。
• 基于畸变和庞加莱度量的和的畸变估计，控制迭代映射的行为。
• 将所开发的工具应用于临界圆周映射，证明在特定动力学条件下具有刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一维映射复合的联合畸变是统一有界的？
• RQ2 如何在保持动力学性质的前提下，用仿射映射逼近具有非负施瓦茨导数的映射？
• RQ3 总非线性度在决定映射复合仿射逼近质量方面起什么作用？
• RQ4 科贝原理能否扩展至包含具有非正施瓦茨导数的映射的复合？
• RQ5 从临界圆周映射中畸变控制可推出哪些动力学刚性结果？

主要发现

• 在科贝原理条件下，具有非正施瓦茨导数的映射复合满足统一畸变界。
• 当可能具有非负施瓦茨导数的映射的总非线性度较小时，可在复合中用仿射映射替代，误差可忽略。
• 庞加莱度量为测量和控制一维映射复合中的畸变提供了有效工具。
• 若畸变之和有界且科贝原理适用，则复合的畸变有界。
• 所开发的技术导出临界圆周映射的刚性定理，表明此类映射由其组合与度量数据唯一确定。
• 当非线性度足够小时，仿射逼近可保持原始映射复合的本质动力学结构。