[论文解读] One-dimensional quantum systems at finite temperatures can be simulated efficiently on classical computers

Thomas Barthel|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Quantum many-body systems参考文献 78被引用 22

一句话总结

该论文表明，利用矩阵乘积态（MPS）结合热场双态（TDS）和Rényi纠缠熵标度，有限温度下一维量子系统可在经典计算机上实现高效模拟。论文证明，对于无能隙系统，所需纠缠维度随逆温度多项式增长；对于有能隙系统，纠缠维度保持恒定，从而可通过类似DMRG的方法实现高效经典模拟。

ABSTRACT

It is by now well-known that ground states of gapped one-dimensional (1d) quantum-many body systems with short-range interactions can be studied efficiently using classical computers and matrix product state techniques. A corresponding result for finite temperatures was missing. Using the replica trick in 1+1d quantum field theory, it is shown here that the cost for the classical simulation of 1d systems at finite temperatures grows in fact only polynomially with the inverse temperature and is system-size independent -- even for gapless systems. In particular, we show that the thermofield double state (TDS), a purification of the equilibrium density operator, can be obtained efficiently in matrix-product form. The argument is based on the scaling behavior of Rényi entanglement entropies in the TDS. At finite temperatures, they obey the area law. For gapless systems with central charge $c$, the entanglement is found to grow only logarithmically with inverse temperature, $S_α\sim \frac{c}{6}(1+1/α)\log β$. The field-theoretical results are tested and confirmed by quasi-exact numerical computations for integrable and non-integrable spin systems, and interacting bosons.

研究动机与目标

• 建立有限温度一维量子系统可被经典高效模拟的结论，扩展先前关于基态结果的研究。
• 分析热场双态（TDS）的纠缠结构，TDS是热密度矩阵的纯化态。
• 证明TDS中Rényi纠缠熵即使在无能隙系统中也服从面积律。
• 证明MPS近似所需纠缠维度在无能隙系统中随逆温度多项式增长，在有能隙系统中保持恒定。
• 通过可积与不可积自旋模型及相互作用玻色子模型进行数值验证。

提出的方法

• 使用热场双态（TDS）作为热密度矩阵的纯化态，实现有限温度下的MPS表示。
• 在1+1维量子场论中应用复制技巧，计算TDS中的Rényi纠缠熵。
• 通过在圆柱面和n重叠流形上使用欧几里得路径积分，对TDS进行场论分析，并引入扭场。
• 推导出临界（CFT）和能隙（大质量QFT）系统的Rényi纠缠熵标度，显示无能隙系统中熵随逆温度对数增长。
• 使用截断簇展开和自旋链与玻色子模型的准精确模拟进行数值验证。
• 利用极大化理论推导出Rényi熵的下界，以关联MPS近似中的截断误差与纠缠维度。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限温度下一维量子系统能否利用矩阵乘积态在经典计算机上实现高效模拟？
• RQ2 有限温度下一维系统中，热场双态的Rényi纠缠熵的标度行为如何？
• RQ3 准确表示热态的MPS所需纠缠维度是否随逆温度多项式增长？
• RQ4 热场双态在有能隙与无能隙一维系统中的纠缠结构有何不同？
• RQ5 可积与不可积模型中，关于纠缠标度的分析预测能否通过数值方法验证？

主要发现

• 无能隙一维系统中，热场双态的Rényi纠缠熵随逆温度对数增长，形式为 $ S_{\beta} \sim \frac{c}{6}(1+1/\alpha)\log\beta $，其中 $ c $ 为中心电荷。
• 有能隙一维系统中，Rényi纠缠熵服从面积律，且MPS表示中所需纠缠维度与系统尺寸和逆温度无关。
• 无能隙系统中，纠缠维度 $ D $ 随逆温度多项式增长，形式为 $ D = \mathcal{O}(\beta^{\lambda}) $，其中 $ \lambda = \frac{c}{6}(1+1/\alpha) $，从而实现高效经典模拟。
• 热场双态可被MPS忠实表示，其纠缠维度不随系统尺寸增长。
• 自旋链与相互作用玻色子的数值模拟验证了纠缠熵随逆温度对数增长的预测。
• 推导出Rényi熵的下界，可用于估计给定近似误差下的所需纠缠维度，其中 $ D $ 随 $ \mathcal{O}((D-1)^{1-\alpha}\epsilon^{\alpha}) $ 变化，对应给定截断误差 $ \epsilon $。