[论文解读] One-dimensional quantum walks with absorbing boundaries

Eric Bach, S. N. Coppersmith+3 more|ArXiv.org|Jul 1, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文使用生成函数和本征态方法分析了一维量子行走中具有吸收边界的情况，表明由于量子干涉，吸收概率小于1——这与经典随机行走相反。本征态方法被扩展至d维系统，揭示在双壁系统中，生存概率按$1/t^{d/2}$衰减，吸收时间按$1/\sqrt{t}$缩放，且波前以最大群速度作弹道传播。

ABSTRACT

In this paper we analyze the behavior of quantum random walks. In particular we present several new results for the absorption probabilities in systems with both one and two absorbing walls for the one-dimensional case. We compute these probabilites both by employing generating functions and by use of an eigenfunction approach. The generating function method is used to determine some simple properties of the walks we consider, but appears to have limitations. The eigenfunction approach works by relating the problem of absorption to a unitary problem that has identical dynamics inside a certain domain, and can be used to compute several additional interesting properties, such as the time dependence of absorption. The eigenfunction method has the distinct advantage that it can be extended to arbitrary dimensionality. We outline the solution of the absorption probability problem of a (d-1)-dimensional wall in a d-dimensional space.

研究动机与目标

• 分析一维量子行走中单个或双个吸收边界下的吸收概率。
• 比较组合方法与本征态方法在计算吸收动力学中的表现。
• 将本征态方法扩展至高维系统，包括(d−1)维吸收壁。
• 确定d维量子行走中吸收概率的时间依赖性及波函数展扩行为。
• 确立量子行走表现出弹道展扩和非平凡的生存概率，与经典行走形成鲜明对比。

提出的方法

• 使用生成函数计算吸收概率，并分析单壁与双壁系统的渐近行为。
• 应用本征态展开方法，将吸收与有界区域内的幺正动力学联系起来。
• 采用稳定相位法推导波函数渐近衰减：在d维中$|\Psi| \sim t^{-d/2}$。
• 利用镜像法和边界条件，强制在吸收壁处振幅为零。
• 将生存概率$\Lambda_M$表示为动量空间中向左运动模式（$v_1^\alpha < 0$）的积分。
• 通过求解反射系数和初始条件匹配，将本征态方法扩展至(d−1)维吸收壁。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维量子行走中，单个吸收壁的吸收概率是多少？其与初始距离的关系如何？
• RQ2 当行走者远离某一障碍时，双壁系统中的吸收概率行为如何？
• RQ3 在单壁或双壁系统中，剩余被吸收概率的时间依赖性如何？
• RQ4 本征态方法如何推广至具有(d−1)维吸收壁的d维量子行走？
• RQ5 d维量子行走中，波函数渐近衰减与展扩行为由什么决定？

主要发现

• 在一维单壁系统中，吸收概率小于1，且随时间渐近衰减为$1/t^2$。
• 在双壁系统中，剩余被吸收概率按$1/\sqrt{t}$衰减，表明收敛至渐近极限的速度更慢。
• 对于一般初始条件，生存概率$\Lambda_M$严格介于0与1之间，与经典行走中其归零形成鲜明对比。
• 在d维空间中，波函数振幅按$t^{-d/2}$衰减，意味着概率分布以有限波前作弹道展扩。
• 在d维中，概率最高区域的体积与$t^d$成正比，与弹道展扩一致。
• 本征态方法成功推广至(d−1)维吸收壁，生存概率由动量空间中向左运动模式决定。