[论文解读] One-dimensional Schr\"odinger operators with $\delta'$-interactions on a set of Lebesgue measure zero

Johannes F. Brasche, Л. П. Нижник|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文提出了一类适用于任意零勒贝格测度闭集 $Γ$ 上的一维薛定谔算符的抽象框架，其具有 $δ'$-相互作用。研究证明，负特征值的数量至少等于 $Γ$ 中具有负相互作用强度的孤立点数量。当 $Γ$ 装备了雷纳测度时，作者构造了具有无穷多个负特征值的显式例子。

ABSTRACT

We give an abstract definition of a one-dimensional Schr\"odinger operator with $\delta'$-interaction on an arbitrary set~$\Gamma$ of Lebesgue measure zero. The number of negative eigenvalues of such an operator is at least as large as the number of those isolated points of the set~$\Gamma$ that have negative values of the intensity constants of the $\delta'$-interaction. In the case where the set~$\Gamma$ is endowed with a Radon measure, we give constructive examples of such operators having an infinite number of negative eigenvalues.

研究动机与目标

• 为任意零勒贝格测度闭集 $Γ$ 上的 $δ'$-相互作用薛定谔算符定义自伴算符。
• 基于具有负强度常数的孤立点，建立负特征值数量的下界。
• 当 $Γ$ 装备雷纳测度时，构造此类算符的显式例子，使其具有无穷多个负特征值。
• 利用格林函数和雷纳测度，刻画极小算符 $L_{\min,\Gamma}$ 的亏指数子空间。
• 通过作用于空间 $E_4$ 中边界数据的酉矩阵，对自伴扩张进行完整分类。

提出的方法

• 使用对称算符自伴扩张理论，特别是极小算符 $L_{\min,\Gamma}$ 的亏指数子空间。
• 通过作用于 $Γ$ 点处边界值空间 $E_4$ 的酉矩阵 $U$ 定义边界条件，推广点相互作用模型。
• 将边界形式 $\omega(\Gamma\psi, \Gamma\phi)$ 表示为对称部分 $\hat{\Gamma}_1$ 与反对称部分 $\hat{\Gamma}_2$，以推导一般自伴条件。
• 利用格林函数 $g_z(x) = \frac{i}{2\sqrt{z}} e^{i\sqrt{z}|x|}$（$z \in \mathbb{C} \setminus [0, \infty)$）刻画亏指数子空间 $N_{z,\Gamma}$。
• 通过卷积 $g_z * \mu$ 及其导数（$\mu$ 属于正雷纳测度空间 $M_\Gamma$，且在 $\Sigma_1, \Sigma_2$ 上具有紧支集）构造亏指数子空间的总集。
• 应用索伯列夫空间中的谱合成及控制收敛定理，证明某些函数集在 $N_{z,\Gamma}$ 中的稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为任意零勒贝格测度闭集 $Γ$ 上的一维薛定谔算符定义 $δ'$-相互作用的通用抽象形式？
• RQ2 此类算符的负特征值数量如何与 $Γ$ 中具有负强度常数的孤立点相关？
• RQ3 当 $Γ$ 装备雷纳测度时，能否构造具有无穷多个负特征值的此类算符的显式例子？
• RQ4 极小算符 $L_{\min,\Gamma}$ 的亏指数子空间结构如何？如何利用格林函数和测度刻画它们？
• RQ5 在何种条件下，形如 $\{g_z(x - \gamma)\} \cup \{g_z'(x - \gamma)\}$ 的函数集在亏指数子空间 $N_{z,\Gamma}$ 中是总集？

主要发现

• 在 $δ'$-相互作用算符 $L_{\Gamma,\delta'}$ 中，负特征值的数量至少等于 $Γ$ 中具有负强度常数的孤立点数量。
• 当 $Γ$ 装备雷纳测度时，本文构造了 $L_{\Gamma,\delta'}$ 的显式例子，其具有无穷多个负特征值。
• 亏指数子空间 $N_{z,\Gamma} = \text{ran}(L_{\min,\Gamma} - z)^\perp$ 是 $\{g_z * \mu : \mu \in M_\Gamma\} \cup \{(g_z * \nu)' : \nu \in M_\Gamma\}$ 的闭包，其中 $M_\Gamma$ 是 $Γ$ 上具有紧支集的正雷纳测度集合。
• 集合 $\{g_z(x - \gamma) : \gamma \in \Sigma_1\} \cup \{g_z'(x - \gamma) : \gamma \in \Sigma_2\}$ 在 $N_{z,\Gamma}$ 中为总集，当且仅当 $\Sigma_1$ 在 $Γ$ 中稠密，且 $\Sigma_2$ 包含 $Γ$ 的所有孤立点。
• 对于给定的 $δ'$-相互作用算符 $A$，若 $A$ 与自由哈密顿量 $SU$ 在 $\text{ran}(T + i)^\perp$ 中有共同的限制，且其正交补为一维，则负特征值的数量（计入重数）至多为一个。
• 实现 $SU$ 为自由哈密顿量的酉映射 $U$ 满足：对所有 $\mu \in M_\Gamma$，有 $U(g_{-i} * \mu) = -g_i * \mu$ 且 $U((g_{-i} * \mu)') = -(g_i * \mu)'$。