[论文解读] One-dimensional swimmers in viscous fluids: dynamics, controllability, and existence of optimal controls

Gianni Dal Maso, Antonio DeSimone+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Micro and Nano Robotics参考文献 30被引用 9

一句话总结

本文在黏性流体中基于阻力力理论，建立了单维游泳者运动的存在性与唯一性，通过构造性方法组合基本运动（平移、旋转、伸直）证明了可控性，并展示了最小化能量消耗的最优控制的存在性。结果通过形状驱动动力学的常微分方程和最优控制的变分方法推导得出。

ABSTRACT

In this paper we study a mathematical model of one-dimensional swimmers performing a planar motion while fully immersed in a viscous fluid. The swimmers are assumed to be of small size, and all inertial effects are neglected. Hydrodynamic interactions are treated in a simplified way, using the local drag approximation of resistive force theory. We prove existence and uniqueness of the solution of the equations of motion driven by shape changes of the swimmer. Moreover, we prove a controllability result showing that given any pair of initial and final states, there exists a history of shape changes such that the resulting motion takes the swimmer from the initial to the final state. We give a constructive proof, based on the composition of elementary maneuvers (straightening and its inverse, rotation, translation), each of which represents the solution of an interesting motion planning problem. Finally, we prove the existence of solutions for the optimal control problem of finding, among the histories of shape changes taking the swimmer from an initial to a final state, the one of minimal energetic cost.

研究动机与目标

• 建立并分析忽略惯性效应、基于阻力力理论的一维游泳者在黏性流体中的动力学模型。
• 确立由给定形状变化驱动的运动方程解的存在性与唯一性。
• 证明可控性：对于任意初始与最终构型，存在一条形状轨迹使游泳者能够实现两者之间的转换。
• 展示在时间区间内最小化功率消耗的、能量最优的游泳策略的存在性。
• 通过基本运动（如伸直、反向伸直、旋转、平移）提供一种构造性运动规划方法。

提出的方法

• 将游泳者建模为以弧长参数化的单维体，其形状演化由一个依赖于时间的函数 ξ(s,t) 在随体坐标系中描述。
• 将完整运动表示为 χ(s,t) = r(t) ◦ ξ(s,t)，其中 r(t) 表示在实验参考系中的刚体运动（平移与旋转）。
• 通过施加净黏性力与力矩为零的条件，推导出关于 r(t) 的常微分方程组，其形式由给定的形状函数 ξ(s,t) 决定。
• 在 ξ(s,t) 满足适当正则性条件的前提下，利用标准常微分方程理论证明解 r(t) 的存在性与唯一性。
• 通过将运动分解为基本运动（伸直、反向伸直、旋转、平移）来构造性地证明可控性，每种运动均作为独立的运动规划问题求解。
• 对功率泛函 P(χ) = ∫∫ ⟨Kχ ˙χ, ˙χ⟩ ds dt 应用变分方法，利用弱收敛与紧嵌入技术，实现极限过程，证明在适当函数空间中存在最小化元。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黏性流体中，若给定一维游泳者形状变化的时间历史，其运动是否能被唯一确定？
• RQ2 在忽略惯性效应的假设下，是否仅通过形状变化即可将游泳者从任意初始构型引导至任意最终构型？
• RQ3 在连接两个给定构型的所有可能形状轨迹中，能否找到一种能量最优的游泳姿态？
• RQ4 形状函数的最小正则性条件是什么，才能保证运动方程的适定性？
• RQ5 如何将运动规划问题分解为基本的、可解的运动，以实现全局可控性？

主要发现

• 在给定形状变化下，一维游泳者的运动由常微分方程组唯一确定，确保了动力学的适定性。
• 可控性通过构造性方法得以证明：任意初始构型至最终构型的转移均可通过基本运动（伸直、反向伸直、旋转、平移）的组合实现。
• 在满足外接圆盘条件（半径为 ρ）的 H1 函数空间中，最小化功率消耗的最优控制问题存在解。
• 功率泛函的极小化序列在 H1(0,T;L2(0,L)) 中弱收敛，并在每个时刻 t 强收敛于 C1([0,L])，从而可在力与力矩平衡方程中通过极限过程。
• 极限函数满足力与力矩平衡条件，并最小化功率泛函，从而证明了最优游泳策略的存在性。
• 功率泛函有下界，其下界为 Cτ 乘以速度 L2 范数，且通过 Ioffe-Olech 半连续性定理与紧嵌入技术，确立了最小化元的存在性。