[论文解读] One-Dimensional Traps, Two-Body Interactions, Few-Body Symmetries

N. L. Harshman|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 48被引用 5

一句话总结

本文对具有伽利略不变两体相互作用的一维阱中N个全同粒子的配置空间和运动对称群进行了分类，揭示了阱形状与相互作用强度如何调控量子简并。结果表明，在无相互作用和单位散射极限下，利用单体可观测量可获得能量谱与简并的代数解，且对称性决定了在不同阱几何结构中弱相互作用或近单位散射相互作用引起的能级位移的普遍性。

ABSTRACT

This is the first in a pair of articles that classify the configuration space and kinematic symmetry groups for $N$ identical particles in one-dimensional traps experiencing Galilean-invariant two-body interactions. These symmetries explain degeneracies in the few-body spectrum and demonstrate how tuning the trap shape and the particle interactions can manipulate these degeneracies. The additional symmetries that emerge in the non-interacting limit and in the unitary limit of an infinitely strong contact interaction are sufficient to algebraically solve for the spectrum and degeneracy in terms of the one-particle observables. Symmetry also determines the degree to which the algebraic expressions for energy level shifts by weak interactions or nearly-unitary interactions are universal, i.e. independent of trap shape and details of the interaction. Identical fermions and bosons with and without spin are considered. This article sequentially analyzes the symmetries of one, two and three particles in asymmetric, symmetric, and harmonic traps; the sequel article treats the $N$ particle case.

研究动机与目标

• 系统分类一维阱中N个全同粒子的配置空间与运动对称群。
• 通过无相互作用和单位散射极限下涌现的对称性，解释少体量子系统中的能谱简并。
• 确定阱形状与相互作用强度如何调控这些简并，并影响能级位移的普遍性。
• 将分析扩展至具有或不具有自旋的全同费米子与玻色子，在非对称、对称及谐振子阱中进行研究。
• 为后续论文中处理N体情况奠定基础，本工作聚焦于一、二、三个粒子。

提出的方法

• 分析具有伽利略不变两体相互作用的一维阱中N个全同粒子的配置空间。
• 通过考察保持系统动力学不变的变换，识别运动对称群。
• 应用群论方法，对无相互作用和单位散射极限下的对称性进行分类。
• 在对称极限下，利用单体可观测量推导能量谱与简并的代数表达式。
• 研究对称性如何约束弱相互作用或近单位散射相互作用下能级位移的普遍性。
• 比较不同阱类型（谐振子、对称、非对称）下的结果，突出几何结构与相互作用强度的依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维阱中具有伽利略不变两体相互作用的N个全同粒子，其配置空间与运动对称群是什么？
• RQ2 在无相互作用和单位散射极限下，对称性如何实现少体能量谱的代数求解？
• RQ3 弱相互作用或近单位散射相互作用引起的能级位移在不同阱形状之间具有多大程度的普遍性？
• RQ4 粒子统计性质（费米子与玻色子）及自旋自由度如何影响涌现对称性？
• RQ5 阱几何结构——谐振子、对称或非对称——在决定对称群结构方面起什么作用？

主要发现

• 在一维少体系统中，无相互作用和单位散射极限下存在额外对称性，使得能量谱可完全用单体可观测量精确代数求解。
• 对称性结构决定了弱相互作用下能级位移的普遍性，使其独立于阱形状与相互作用细节。
• 少体谱中的简并完全由所识别的配置空间与运动对称群解释。
• 全同费米子与玻色子（无论有无自旋）在对称性分类中得到一致处理，揭示了谱简并的不同模式。
• 对非对称、对称及谐振子阱中一、二、三个粒子的分析，为一般N体情况奠定了基础。
• 单位散射极限下涌现的对称性足以确定完整谱与简并结构，而无需显式求解多体薛定谔方程。