[论文解读] One generator $(1+u)$-quasi twisted codes over $F_2+uF_2$

Jian Gao, Qiong Kong|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2013

Coding theory and cryptography被引用 3

一句话总结

本文为环 $F_2 + uF_2$ 上的三类单生成元 (1+u)-准循环码（QT码）给出了最小生成集，并为一类特殊的 $A_2$-型码建立了最小 Lee 距离的下界。通过 Gray 映射，这些码可导出在 $F_2$ 上的最优或次优线性码，包括 $[12,5,4]$、$[18,2,12]$ 和 $[24,3,12]$ 等例子。

ABSTRACT

This paper gives the minimum generating sets of three types of one generator $(1+u)$-quasi twisted (QT) codes over $F_2+uF_2$, $u^2=0$. Moreover, it discusses the generating sets and the lower bounds on the minimum Lee distance of a special class of $A_2$ type one generator $(1+u)$-QT codes. Some good (optimal or suboptimal) linear codes over $F_2$ are obtained by these types of one generator $(1+u)$-QT codes.

研究动机与目标

• 确定在环 $F_2 + uF_2$ 上三类单生成元 (1+u)-准循环码的最小生成集。
• 分析 $A_2$-型 (1+u)-QT 码的结构特性，并推导其最小 Lee 距离的下界。
• 通过 Gray 映射，从这些 (1+u)-QT 码构造出在 $F_2$ 上的良好线性码。
• 通过多项式理想与模同态，提供 $A_1$、$A_2$ 和 $B$-型码的显式构造及其生成集。
• 通过 Gray 同构证明，所构造的码在 $F_2$-线性码中能达到最优或次优参数。

提出的方法

• 使用环 $R = F_2 + uF_2$，其中 $u^2 = 0$，并将码建模为 $S_n^l = R[x]/(x^n - (1+u))^l$ 上的 $R[x]$-子模。
• 应用同构 $\rho: R^N \to S_n^l$，将单生成元 (1+u)-准循环码表示为 $C = (f_0(x), \dots, f_{l-1}(x))$，其中 $f_j(x) \in S_n$。
• 利用模同态 $\psi_i$ 将 $C$ 投影到 $S_n$ 中的各个 $(1+u)$-循环码上，从而将 $C$ 分类为 $A_1$、$A_2$ 或 $B$ 型。
• 通过最大公因式与多项式除法推导最小生成集：对于 $A_1$ 型，$S_1 = \{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$ 与 $S_2 = \{F, xF, \dots, x^{n-r-1}F\}$，其中 $F = \{uf_0, \dots, uf_{l-1}\}$。
• 对于 $A_2$-型码，证明其生成集为 $\{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$，其中 $G = (ugf_0, \dots, ugf_{l-1})$，且满足 $\gcd(f_i, (x^n-1)/g) = 1$ 对所有 $i$ 成立。
• 应用 Gray 映射 $\phi$，将 $R$ 上的码转换为二元线性码，同时保持 Lee 距离与汉明距离的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $F_2 + uF_2$ 上，三类单生成元 (1+u)-准循环码的最小生成集是什么？
• RQ2 如何对 $A_2$-型 (1+u)-QT 码的最小 Lee 距离建立下界？
• RQ3 在 $F_2 + uF_2$ 上的单生成元 (1+u)-准循环码，是否可通过 Gray 映射导出在 $F_2$ 上的最优或次优线性码？
• RQ4 何种结构条件可确保 $A_1$、$A_2$ 和 $B$-型码的生成集为最小且线性无关？
• RQ5 生成多项式 $g(x)$、$f_i(x)$ 和 $h(x)$ 的代数性质如何影响码的大小与最小距离？

主要发现

• 对于 $A_1$-型单生成元 (1+u)-QT 码，其最小生成集为 $S_1 \cup S_2$，其中 $S_1 = \{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$，$S_2 = \{F, xF, \dots, x^{n-r-1}F\}$，$r = \deg h$，且 $h = (x^n - 1)/g$。
• 对于 $A_2$-型码，其最小生成集为 $\{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$，其中 $G = (ugf_0, \dots, ugf_{l-1})$，且对所有 $i$ 满足 $\gcd(f_i, (x^n-1)/g) = 1$。
• 对于 $A_2$-型码，其最小 Lee 距离满足 $d_L(C) \geq l \cdot d_L(\widetilde{C})$，其中 $\widetilde{C} = (ug)$，且在示例中等号成立。
• 当 $n=3$，$l=2$，$g_0 = x+1$，$g_1 = x^2+1$ 时，$A_1$-型码通过 Gray 映射生成一个 $[12,5,4]$ 的 $F_2$ 上线性码，该码为最优码。
• 当 $n=3$，$l=3$，$g=x+1$，$f_0 = x^3+x+1$，$f_1 = x^3+x^2+1$，$f_2 = 1$ 时，$A_2$-型码通过 Gray 映射生成一个 $[18,2,12]$ 的 $F_2$ 上线性码，该码为最优码。
• 当 $n=9$，$l=2$，$g=(x+1)(x^6+x^3+1)$，$q_0=x$，$q_1=x+x^2$ 时，$B$-型码通过 Gray 映射生成一个 $[36,10,8]$ 的 $F_2$ 上线性码。