[论文解读] One level density of low-lying zeros of quadratic and quartic Hecke $L$-functions

Peng Gao, Liangyi Zhao|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 34被引用 21

一句话总结

本文研究了高斯域 $\mathbb{Q}(i)$ 上二次与四次 Hecke $L$-函数的低阶零点的一阶密度结果。通过使用二维 Poisson 求和公式与特征和估计，证明了至少 94.27% 的二次族成员与 5% 的四次族成员在中心点不为零，支持了这些族在辛对称性情形下的 Katz-Sarnak 密度猜想。

ABSTRACT

In this paper, we prove some one level density results for the low-lying zeros of famliies of quadratic and quartic Hecke $L$-functions of the Gaussian field. As corollaries, we deduce that, respectively, at least $94.27 \%$ and $5\%$ of the members of the quadratic family and the quartic family do not vanish at the central point.

研究动机与目标

• 将 Katz-Sarnak 密度猜想推广至高斯域上的二次与四次 Hecke $L$-函数族。
• 利用一阶密度分析，确定这些族中低阶零点的分布。
• 为每个族中正比例的 $L$-函数在中心点建立非零性结果。
• 应用高维 Poisson 求和技巧，改进特征和估计，并扩展密度公式中测试函数傅里叶变换的支集。
• 确认这些族表现出与随机矩阵理论预测一致的辛对称性。

提出的方法

• 利用显式公式，将零点之和转化为高斯整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 中素理想的和。
• 在 $\mathbb{Z}[i]$ 上应用二维 Poisson 求和公式，转换并界定涉及四次与二次剩余符号的特征和。
• 使用带光滑截断函数的加权和及 Mellin 变换，处理密度迹公式中的振荡项。
• 通过理想上指数和的分部求和与有界估计，估计特征和 $S_M(X,Y;\hat{\phi},\Phi)$。
• 利用 Poisson 求和所得对偶格结构，缩短特征和的长度，从而实现更优的误差控制。
• 应用 $\tilde{W}$-函数与光滑权函数，对和进行局部化，并在参数 $X$ 上统一控制误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 高斯域 $\mathbb{Q}(i)$ 上二次与四次 Hecke $L$-函数族的低阶零点一阶密度为何？
• RQ2 这些 $L$-函数的零点分布在多大程度上符合辛群 $\mathrm{USp}$ 的随机矩阵理论预测？
• RQ3 这些族中有多大比例的 $L$-函数在中心临界点不为零？
• RQ4 高维 Poisson 求和如何改进一阶密度结果中测试函数傅里叶变换的支集？
• RQ5 是否可以在不假设广义黎曼猜想的前提下，获得这些族中一阶密度的无条件结果？

主要发现

• 在 $\mathbb{Q}(i)$ 上，二次 Hecke $L$-函数族的低阶零点一阶密度在 $X \to \infty$ 时收敛至辛密度核 $W_{\mathrm{USp}}(x) = 1 - \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi x}$，确认了辛对称性。
• 对于四次 Hecke $L$-函数族，一阶密度同样收敛至同一辛核，表明相同的对称类型。
• 至少 94.27% 的二次族成员在中心点不为零，此结果源自一阶密度分析。
• 至少 5% 的四次族成员在中心点不为零，为一阶密度分析的推论。
• 通过改进的特征和估计，一阶密度公式中测试函数傅里叶变换的支集被扩展至 $(-2,2)$（二次族），四次族亦扩展至类似范围。
• 当 $U = \log \log X$ 且 $Z = \log^5 X$ 时，密度迹公式中的误差项被证明为 $o(X \log X)$，确保收敛至预期密度。