[论文解读] One-parameter representations on C*-algebras

Johan Kustermans|ArXiv.org|Jul 28, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 28

一句话总结

本文建立了C*-代数上强连续一参子群的C*-自同构到其乘子代数的严格解析延拓，证明了每个自同构可唯一地延拓为乘子代数上的严格连续一参子群。关键贡献在于通过半乘法性和乘子代数技术实现了解析延拓的严格闭性，该结果在量子群和模理论中有应用。

ABSTRACT

Strongly continuous one-parameter representations on C*-algebras and their extension to the multiplier algebra are investigated. We give also a proof of the Stone theorem on Hilbert C*-modules and look into some related problems.

研究动机与目标

• 将C*-代数上强连续的一参子群C*-自同构延拓到其乘子代数。
• 建立此类子群在乘子代数上解析延拓的严格闭性。
• 将斯通定理由希尔伯特C*-模推广。
• 为研究C*-代数量子群中的模群和对极映射提供框架。
• 发展用于延拓C*-代数之间严格线性映射的工具，特别是非退化*-同态和完全正映射。

提出的方法

• 在乘子代数M(A)上使用严格拓扑来定义并分析一参子群的延拓。
• 应用有界子集上的严格连续性概念，将A上的自同构αₜ延拓为M(A)上唯一的自同构α̅ₜ。
• 利用自同构的半乘法性，规避了先前工作中对偶公理带来的问题。
• 利用A中的逼近单位(eₖ)构造收敛于x ∈ M(A)的网(xₑₖ)，从而实现映射的延拓。
• 在严格拓扑下应用闭图像定理，证明延拓映射是严格闭的。
• 利用希尔伯特C*-模和正规算子的理论，将斯通定理由算子群情形推广到模情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 C*-代数上每个强连续的一参子群C*-自同构能否唯一地延拓为乘子代数上的严格连续一参子群？
• RQ2 在何种条件下可保证此类延拓子群的解析延拓具有严格闭性？
• RQ3 斯通定理如何推广到希尔伯特C*-模情形？
• RQ4 当标准对偶公理失效时，自同构的半乘法性在延拓过程中起到何种作用？
• RQ5 严格线性映射和*-同态的张量积在严格延拓下如何表现？

主要发现

• C*-代数A上每个强连续的一参子群α的C*-自同构，可唯一地延拓为乘子代数M(A)上严格连续的一参子群α̅。
• α̅在复时间z ∈ ℂ上的解析延拓存在，且在M(A)中产生良定义的线性映射α̅_z，严格闭性是核心技术结果。
• 延拓映射ρ ↦ ρ̅有界，且对任意从A到M(B)的在有界集上严格连续的严格线性映射ρ，均有‖ρ̅‖ = ‖ρ‖。
• C*-代数之间严格线性映射的复合保持严格连续性，且ρ∘θ的延拓由其延拓的复合给出。
• 任意非退化的*-同态π: A → M(B)可唯一地延拓至M(A)，且对所有a ∈ M(A)，b ∈ A，有π̅(a)π̅(b) = π̅(ab)。
• 两个严格线性映射的张量积是严格连续的，且对x ∈ M(A)，y ∈ M(B)，其延拓满足(ρ⊗θ)(x⊗y) = ρ̅(x)⊗θ̅(y)。