[论文解读] One-pth Riordan Arrays in the Construction of Identities

Tian-Xiao He|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入了一类一/p次Riordan数组，作为此前针对p=2研究的半Riordan数组的推广，通过函数复合从标准Riordan数组构造这些数组。推导出A序列生成函数为(A(t))^p，并利用此结果推导出新的组合恒等式，包括广义Chu–Vandermonde恒等式以及与Fuss–Catalan数的联系，提供了一套系统化的方法，用于利用Riordan数组理论生成和验证恒等式。

ABSTRACT

For an integer $p\geq 2$ we construct vertical and horizontal one-pth Riordan arrays from a Riordan array. When $p=2$, one-pth Riordan arrays reduced to well known half Riordan arrays. The generating functions of the $A$-sequences of vertical and horizontal one-pth Riordan arrays are found. The vertical and horizontal one-pth Riordan arrays provide an approach to construct many identities. They can also be used to verify some well known identities readily.

研究动机与目标

• 将此前针对p=2研究的半Riordan数组概念推广至任意整数p ≥ 2的一/p次Riordan数组。
• 开发一套系统化方法，利用竖直和水平的一/p次Riordan数组构造新的组合恒等式。
• 推导一/p次Riordan数组的A序列生成函数，证明其为(A(t))^p，其中A(t)是原数组的A序列生成函数。
• 展示如何利用这些数组验证和推导已知恒等式，如广义Chu–Vandermonde恒等式与Gould恒等式。
• 将Riordan数组理论的应用范围扩展至更广泛的组合序列与涉及Fuss–Catalan数的恒等式。

提出的方法

• 通过与Fuss–Catalan生成函数F_p(t)的函数复合，从给定的Riordan数组(g, f)构造竖直和水平的一/p次Riordan数组。
• 定义新的生成函数：g̃(t) = g(φ(t)) / (1 - t·Z(f(t))·φ(t)) 和 f̃(t) = t·F_p^p(t)，其中φ(t)是f(t)的复合逆函数。
• 推导新数组的A序列生成函数为(A(t))^p，其中A(t)是原数组的A序列生成函数。
• 利用Riordan数组的基本定理（FTRA）将列向量变换与生成函数复合联系起来。
• 应用Lagrange反演公式计算f̃(t)的系数，证明[t^n]f̃(t) = 1/n * binom(pn, n-1)，从而得出f̃(t) = F_p(t) - 1。
• 利用定理4.2推导出涉及二项式系数乘积之和的一般恒等式，进而导出广义Chu–Vandermonde恒等式与Gould恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意整数p ≥ 2，如何系统地从给定的Riordan数组(g, f)构造一/p次Riordan数组？
• RQ2 一/p次Riordan数组的A序列生成函数是什么？它与原数组的A序列之间有何关系？
• RQ3 一/p次Riordan数组能否用于推导或验证已知的组合恒等式，如Chu–Vandermonde恒等式或Gould恒等式？
• RQ4 一/p次Riordan数组与Fuss–Catalan数之间有何联系？这一联系如何推广帕斯卡矩阵的情形？
• RQ5 新数组(g̃, f̃)的结构如何通过系数提取与生成函数运算，实现新恒等式的推导？

主要发现

• 一/p次Riordan数组(g̃, f̃)的A序列生成函数为(A(t))^p，其中A(t)是原数组(g, f)的A序列生成函数。
• 新数组的生成函数f̃(t)由f̃(t) = t·F_p^p(t)给出，其系数为[t^n]f̃(t) = 1/n * binom(pn, n-1)，对应于Fuss–Catalan数。
• 恒等式∑_{j=s}^n (s/j) * binom(pj, j-s) * binom(p(n-j)+r, n-j-k+s) = binom(pn+r, n-k)作为定理4.2应用于一/p次数组的直接推论被导出。
• 当s=1时，该恒等式简化为∑_{j=1}^n (1/(pj+1)) * binom(pj+1, j) * binom(p(n-j)+r, n-j-k+1) = binom(pn+r, n-k)，这是Chu–Vandermonde恒等式的广义形式。
• 通过变量平移与参数代换，所导出的恒等式与文献[8]中的公式(5.62)一致，验证了其与已知结果的一致性。
• 通过参数代换，该方法成功恢复了Gould恒等式∑_{i=0}^n (r/(r-qi)) * binom(r-qi, i) * binom(p+qi, n-i) = binom(r+p, n)，展示了该方法在验证已知恒等式方面的强大能力。