[论文解读] One-sided $(b, c)$-inverses in rings

Yuanyuan Ke, Jelena Višnjić+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文在环中引入了单边 $(b,c)$-逆元和单边消去 $(b,c)$-逆元，作为广义逆元，扩展了 $(b,c)$-逆元和沿一个元素的单边逆元。它建立了其存在的必要与充分条件，并证明了左/右 $(b,c)$-可逆性与特定元素（如 $1 + (α - a)a^{ op}$）的左/右可逆性之间的等价性，统一并扩展了非交换环中广义逆元的既有结果。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new generalized inverse in a ring -- one-sided $(b, c)$-inverse, derived as an extension of $(b, c)$-inverse. This inverse also generalizes one-sided inverse along an element, which was recently introduced by H. H. Zhu et al. [H. H. Zhu, J. L. Chen, P. Patrício, Further results on the inverse along an element in semigroups and rings, Linear Multilinear Algebra, 64 (3) (2016) 393-403]. Also, here we present one-sided annihilator $(b, c)$-inverse, which is an extension of the annihilator $(b, c)$-inverse. Necessary and sufficient conditions for the existence of these new generalized inverses are obtained. Furthermore, we investigate conditions for the existence of one-sided $(b, c)$-inverse of a product of three elements and we consider some properties of one-sided $(b, c)$-inverses.

研究动机与目标

• 通过在环中引入单边 $(b,c)$-逆元，推广 $(b,c)$-逆元和沿一个元素的单边逆元。
• 定义并研究单边消去 $(b,c)$-逆元，作为消去 $(b,c)$-逆元的扩展。
• 建立单边 $(b,c)$-逆元存在的必要与充分条件。
• 探讨三个元素乘积的单边 $(b,c)$-逆元的存在性。
• 通过环的结构性条件，统一并扩展现有广义逆元的结果。

提出的方法

• 通过条件 $yab = b$，$cay = c$，以及 $y \in bRy \cap yRc$ 定义左/右 $(b,c)$-逆元，且当其存在时唯一。
• 通过条件 $yay = y$，$^\circ b = ^\circ y$，以及 $y^\circ = c^\circ$ 引入单边消去 $(b,c)$-逆元，确保唯一性。
• 使用环论工具（如像理想与核理想 $aR$，$Ra$，$^\circ a$，$a^\circ$）刻画存在性条件。
• 应用雅可布森引理（引理 4.1）将 $1 + (α - a)a^{\top}$ 和 $1 + a^{\top}(\alpha - a)$ 的左/右可逆性与单边 $(b,c)$-可逆性联系起来。
• 证明单边 $(b,c)$-可逆性与特定环元素可逆性之间的等价性，利用 $a$ 存在 $(b,c)$-逆元的前提。
• 通过对偶性将左 $(b,c)$-逆元的结果推广至右 $(b,c)$-逆元及其消去变体。

实验结果

研究问题

• RQ1 在环 $R$ 中，元素 $\alpha$ 的单边 $(b,c)$-逆元存在的条件是什么？
• RQ2 单边 $(b,c)$-逆元与经典 $(b,c)$-逆元及沿一个元素的逆元之间有何关系？
• RQ3 若 $a$ 存在 $(b,c)$-逆元，则 $\alpha$ 的左 $(b,c)$-可逆性与 $1 + (\alpha - a)a^{\top}$ 的左可逆性之间有何关系？
• RQ4 能否以各组成部分的形式刻画三个元素乘积的单边 $(b,c)$-逆元的存在性？
• RQ5 单边 $(b,c)$-逆元的消去变体与标准 $(b,c)$-逆元有何异同并如何扩展？

主要发现

• 元素 $\alpha$ 存在左 $(b,c)$-逆元的必要与充分条件是 $R = Rc\alpha + ^\circ b$，右情况同理。
• 若 $a$ 存在 $(b,c)$-逆元，则 $b$ 和 $c$ 是正则的，且满足 $bR = a^{\top}R$，$Rc = Ra^{\top}$，这些条件用于推导存在性条件。
• 左 $(b,c)$-可逆性等价于 $1 + (\alpha - a)a^{\top}$ 的左可逆性，右情况同理，由引理 4.1 保证。
• 单边消去 $(b,c)$-逆元由 $yay = y$，$^\circ b = ^\circ y$，$y^\circ = c^\circ$ 特征化，推广了消去 $(b,c)$-逆元。
• 结果统一并扩展了沿一个元素的逆元与 $(b,c)$-逆元的理论，表明沿一个元素的单边逆元是单边 $(b,c)$-逆元的特例。
• 本文为分析非交换环中的单边逆元提供了框架，适用于乘积及元素的结构性质。