[论文解读] One sided extendability and p-continuous analytic capacities

E. Bolkas, Vassili Nestoridis+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文为紧集 $L \subset \mathbb{C}$ 引入了 $p$-连续解析容度 $a_p(L)$，推广了经典的连续解析容度。通过复分析、Baire 有限集合理论以及全纯延拓的性质，证明了在一维或光滑曲线及区域上的 $C^k(\gamma)$ 和 $A^p(\Omega)$ 空间中，单侧延拓性与实解析性是典型的稀有现象。关键贡献在于通过 $a_p(L)$ 刻画可去奇点，表明当 $a_p(L) = 0$ 时，$A^p(U \setminus L)$ 中函数的通用非延拓性成立。

ABSTRACT

Using complex methods combined with Baire's Theorem we show that one-sided extendability, extendability and real analyticity are rare phenomena on various spaces of functions in the topological sense. These considerations led us to introduce the p-continuous analytic capacity and variants of it, $p \in \{ 0, 1, 2, \cdots \} \cup \{ \infty \}$, for compact or closed sets in $\mathbb{C}$. We use these capacities in order to characterize the removability of singularities of functions in the spaces $A^p$.

研究动机与目标

• 研究在曲线与区域上光滑函数与解析函数空间中，单侧延拓性与实解析性的拓扑稀有性。
• 定义并研究一种新容度 $a_p(L)$，推广连续解析容度，用于刻画 $A^p$ 空间中可去奇点的性质。
• 在底层曲线或边界具有适度光滑性假设下，建立 $C^k(\gamma)$ 与 $A^p(\Omega)$ 中延拓性与实解析性为典型稀有现象的结论。
• 将边界点处的局部延拓性与整体全纯延拓性联系起来，尤其当 $L$ 具有空内部时。
• 提供一个二分结果：在 $A^p(U \setminus L)$ 中，要么所有函数在某点可延拓，要么在通用意义下均不可延拓，具体取决于 $a_p(L)$。

提出的方法

• 使用复分析方法，包括 Poisson 积分公式与 Montel 定理，分析函数空间中的全纯延拓。
• 应用 Baire 有限集合理论，证明 $A^p(U \setminus L)$ 中不可延拓函数的集合为稠密的 $G_\delta$ 集，从而表明通用不可延拓性。
• 引入 $p$-连续解析容度 $a_p(L)$，作为经典 $a_0(L)$ 的推广，且对某些 Cantor 型集合有 $a_1(L) \neq a_0(L)$。
• 构造可数个 Jordan 区域 $G_n$ 以局部化延拓问题，并将 Baire 定理应用于其补集的并集。
• 运用 Osvald-Carathéodory 定理与边界正则性，将结果从解析曲线推广至光滑或 Jordan 曲线。
• 分析边界点处局部延拓性与整体全纯延拓之间的等价性，证明其成立当且仅当 $L^\circ = \emptyset$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $C^k(\gamma)$ 或 $A^p(\Omega)$ 空间中，函数在曲线上单侧延拓性是典型现象还是稀有现象？
• RQ2 如何通过 $p$-连续解析容度 $a_p(L)$ 刻画 $A^p(U \setminus L)$ 中函数的奇点可去性？
• RQ3 在什么条件下，$A^p(U \setminus L)$ 中在边界点 $z_0$ 可延拓的函数集合要么为全部，要么为通用集合？
• RQ4 条件 $a_p(L) = 0$ 是否等价于对所有 $z_0 \in L$ 与 $r > 0$，有 $a_p(L \cap \overline{D(z_0,r)}) = 0$？
• RQ5 $a_p(L) = 0$ 是否蕴含 $A^p(U \setminus L)$ 中每个 $f$ 均可全纯延拓至 $U$，尤其当 $L^\circ = \emptyset$ 时？

主要发现

• 在 $k \in \{0,1,2,\dots\} \cup \{\infty\}$ 下，若 $\gamma$ 为 $C^k$ 局部单射曲线，则 $C^k(\gamma)$ 中的单侧延拓性与实解析性为典型稀有现象。
• $p$-连续解析容度 $a_p(L)$ 被引入，且对某些集合有 $a_1(L) = 0$ 但 $a_0(L) > 0$，例如当 $L = K_{1/3} \times K_{1/3}$ 时，其中 $K_{1/3}$ 为 Cantor 集。
• 当 $L$ 为紧集且内部为空时，若 $f \in A^p(U \setminus L)$，则 $\partial L$ 上每点处的局部延拓性等价于 $U$ 上存在全局全纯延拓。
• $A^p(U \setminus L)$ 中在某点 $z_0$ 可延拓的函数集合，要么为全部函数，要么为稠密的 $G_\delta$ 集，具体取决于 $a_p(L) = 0$ 是否成立。
• 当 $a_p(L) = 0$ 时，$A^p(U \setminus L)$ 中不可延拓函数的集合为稠密且 $G_\delta$，表明其具有通用不可延拓性。
• 对于 $p=1$，$a_1(L) = 0$ 即使 $a_0(L) > 0$ 也成立，表明 $a_1$ 是比 $a_0$ 更强的可去性条件。