[论文解读] One-Sided Projections on C*-algebras

David P. Blecher, Roger R. Smith+1 more|ArXiv.org|Mar 7, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 8

一句话总结

该论文建立了C*-代数上完全左M-投影的等价刻画，表明其恰好为乘子代数中正交投影的左乘。关键贡献在于证明在C*-代数中，经典M-投影性质（如在矩阵放大下保持等距）完全刻画了此类映射，并且冯诺依曼代数的预对偶代数不包含非平凡的完全单边M-理想。

ABSTRACT

In [BEZ] the notion of a complete one-sided M-ideal for an operator space X was introduced as a generalization of Alfsen and Effros' notion of an M-ideal for a Banach space [AE72]. In particular, various equivalent formulations of complete one-sided M-projections were given. In this paper, some sharper equivalent formulations are given in the special situation that $X = \mathcal{A}$, a $C^*$-algebra (in which case the complete left M-projections are simply left multiplication on $\mathcal{A}$ by a fixed orthogonal projection in $\mathcal{A}$ or its multiplier algebra). The proof of the first equivalence makes use of a technique which is of interest in its own right--a way of ``solving'' multi-linear equations in von Neumann algebras. This technique is also applied to show that preduals of von Neumann algebras have no nontrivial complete one-sided M-ideals. In addition, we show that in a $C^*$-algebra, the intersection of finitely many complete one-sided M-summands need not be a complete one-sided M-summand, unlike the classical situation.

研究动机与目标

• 通过多种等价条件刻画C*-代数上的完全左M-投影。
• 通过完全等距性和压缩性，将经典M-投影概念推广至非交换算子空间设置。
• 证明冯诺依曼代数的预对偶代数不包含非平凡的完全单边M-理想。
• 展示在C*-代数中，有限个完全单边M-直和项的交集不一定是完全单边M-直和项，与经典情况不同。
• 通过一种新颖的求解冯诺依曼代数中多重线性方程的技术，厘清C*-代数中左乘子与完全左M-投影之间的关系。

提出的方法

• 建立了刻画C*-代数A上完全左M-投影的六个条件之间的等价性，包括嵌入到C₂(A)中的等距性以及矩阵扩张的压缩性。
• 提出了一种求解冯诺依曼代数中多重线性算子方程的新技术，用于证明条件之间的等价性并分析M-理想。
• 将该解法技术应用于证明冯诺依曼代数的预对偶代数不包含非平凡的完全单边M-理想。
• 通过构造一个涉及希尔伯特空间上投影的反例，表明C*-代数中两个完全右M-直和项的交集不一定是完全右M-直和项。
• 构造了一个由投影P、Q和秩一投影Eₙ生成的单位C*-代数A ⊂ B(H)，其中P ∧ Q ∉ A，以证明经典M-直和项交集性质的失效。
• 利用Paulsen系统构造将一般算子空间嵌入非单位算子系统，从而能够应用Werner关于左乘子的早期结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 C*-代数上完全左M-投影的完整等价条件集是什么？
• RQ2 能否将经典M-投影的刻画（如∥x∥ = max{∥Px∥, ∥x−Px∥}）推广至非交换、完全等距的设置？
• RQ3 冯诺依曼代数的预对偶代数是否包含非平凡的完全单边M-理想？
• RQ4 C*-代数中有限个完全单边M-直和项的交集是否仍为完全单边M-直和项？
• RQ5 在C*-代数的特殊情况下，算子空间上的左乘子与完全左M-投影之间有何关系？

主要发现

• C*-代数A上的完全左M-投影等价于乘子代数M(A)中正交投影e的左乘。
• 映射x ↦ [Px; x−Px]从A到C₂(A)是完全等距的，当且仅当P是完全左M-投影。
• 映射[x; y] ↦ [Px; y]在C₂(A)上是完全压缩的，当且仅当P是完全左M-投影。
• 通过求解多重线性方程的技术，证明冯诺依曼代数的预对偶代数不包含非平凡的完全单边M-理想。
• C*-代数中两个完全右M-直和项的交集不一定是完全右M-直和项，即使对应的投影可交换。
• 存在一个单位C*-代数A及A中的投影P、Q，使得P ∧ Q ∉ A，且(P A) ∩ (Q A) ≠ r A对任意r ∈ A的投影r均不成立，表明经典M-直和项交集性质的失效。