[论文解读] One-sided shift spaces over infinite alphabets

William Ott, Mark Tomforde+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2012

semigroups and automata theory被引用 10

一句话总结

本文通过使用字母表的一点紧化来确保紧致性，提出了一种针对无限字母表上单边移位空间的新框架，从而实现了经典符号动力系统技术的应用。它定义了三类推广有限型移位的移位同态，并证明了行有限移位空间具有滑动块编码的特征；作为关键应用，建立了可数有向图的边移位共轭蕴含其关联C*-代数与群胚的同构关系。

ABSTRACT

We define a notion of (one-sided) shift spaces over infinite alphabets. Unlike many previous approaches to shift spaces over countable alphabets, our shift spaces are compact Hausdorff spaces. We examine shift morphisms between these shift spaces, and identify three distinct classes that generalize the shifts of finite type. We show that when our shift spaces satisfy a property that we call "row-finite", then shift morphisms on them may be identified with sliding block codes. As applications, we show that if two (possibly infinite) directed graphs have edge shifts that are conjugate, then the groupoids of the graphs are isomorphic, and the C*-algebras of the graphs are isomorphic.

研究动机与目标

• 为克服经典无限字母表移位空间中缺乏紧致性的问题，该问题阻碍了标准动力系统技术的应用。
• 定义一类新的无限字母表上的一维移位空间，使其成为紧致的豪斯多夫空间，从而保持符号动力系统所必需的拓扑结构。
• 通过三种不同的移位同态类，将有限型移位的概念推广至无限字母表。
• 在行有限情形下，建立滑动块编码与移位同态之间的对应关系，将经典结果推广至无限情形。
• 将该框架应用于可数有向图的C*-代数与群胚，证明在边移位共轭下，其代数与群胚同构。

提出的方法

• 通过字母表的一点紧化 $\mathcal{A}_\infty = \mathcal{A} \cup \{\infty\}$ 重新定义全移位空间，使乘积空间 $X_\mathcal{A} = \mathcal{A}_\infty^\mathbb{N}$ 成为紧致空间。
• 含有 $\infty$ 的序列被解释为 $\mathcal{A}$ 中的有限序列，从而在无限与有限序列的集合上构造出紧致的拓扑。
• 移位空间被定义为 $X_\mathcal{A}$ 的闭子集且在移位映射 $\sigma$ 下不变，从而继承全移位空间的紧致性。
• 引入三类移位同态，基于有限禁止模式及其闭包性质，推广有限型移位。
• 在行有限情形下，证明移位同态恰好对应于滑动块编码，推广了有限字母表下的经典结果。
• 将该框架应用于有向图：边移位的共轭关系蕴含其关联 $C^*$-代数与群胚的同构，通过高阶块图与 $1$-块共轭显式构造同构映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无限字母表的一维移位空间上定义紧致拓扑，以克服标准乘积拓扑下的非紧致性？
• RQ2 如何在保持关键结构性质的前提下，将有限型移位的经典理论推广至无限字母表？
• RQ3 在何种条件下，无限字母表移位空间上的移位同态与滑动块编码相对应？
• RQ4 有向图的边移位共轭关系下，哪些不变量得以保持？
• RQ5 可数有向图的边移位共轭是否蕴含其关联 $C^*$-代数与群胚的同构？

主要发现

• 通过字母表的一点紧化重新定义无限字母表上的全移位空间，得到一个紧致的豪斯多夫空间。
• 作为该紧致空间的闭子集且在 $\sigma$-作用下不变的移位空间本身也是紧致的，从而可应用经典动力系统工具。
• 识别出三类不同的移位同态，推广了有限型移位在无限字母表上的概念。
• 在行有限情形下，移位同态恰好是可表示为滑动块编码的那些映射，推广了有限字母表下的特征刻画。
• 若两个可数有向图的边移位共轭，则其关联的 $C^*$-代数同构，且其群胚同构。
• C*-代数之间的同构通过高阶块图与 $1$-块共轭显式构造，将已知结果推广至无限情形。