[论文解读] One-to-one correspondence between thermal structure factors and coupling constants of general bilinear Hamiltonians

Bruno Murta, J. Fernández‐Rossier|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2022

Quantum and electron transport phenomena参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文在有限温度下建立了通用双线性量子自旋哈密顿量中热自旋-自旋结构因子与耦合常数之间的一一对应关系，通过吉布斯-波利乌布不等式将Quintanilla的零温定理推广至有限温情形。该结果为从实验或数值计算获得的热关联函数中学习自旋哈密顿量参数提供了严格的理论基础。

ABSTRACT

A theorem that establishes a one-to-one relation between zero-temperature static spin-spin correlators and coupling constants for a general class of quantum spin Hamiltonians bilinear in the spin operators has been recently established by J. Quintanilla, using an argument in the spirit of the Hohenberg-Kohn theorem in density functional theory. Quintanilla's theorem gives a firm theoretical foundation to quantum spin Hamiltonian learning using spin structure factors as input data. Here we extend the validity of the theorem in two directions. First, following the same approach as Mermin, the proof is extended to the case of finite-temperature spin structure factors, thus ensuring that the application of this theorem to experimental data is sound. Second, we note that this theorem applies to all types of Hamiltonians expressed as sums of bilinear operators, so that it can also relate the density-density correlators to the Coulomb matrix elements for interacting electrons in the lowest Landau level.

研究动机与目标

• 将Quintanilla关于自旋哈密顿量学习的零温定理推广至有限温度。
• 为使用热自旋结构因子作为量子多体模型重建的输入数据，建立严格的数学理论基础。
• 证明在双线性哈密顿量中，热关联函数唯一确定耦合常数，确保映射的可逆性。
• 将该定理的应用范围从自旋系统扩展至最低 Landau 亚层中相互作用电子系统的密度-密度关联。

提出的方法

• 利用吉布斯-波利乌布不等式约束亥姆霍兹自由能，并将变分原理推广至有限温度。
• 采用反证法（归谬法）证明：若两个不同哈密顿量的热关联函数完全相同，则其耦合常数必然相同，否则将导致矛盾。
• 将有限温度下的自旋-自旋关联函数定义为热期望值：ρα,βij(W) = Tr(W Ŝαi Ŝβj)，其中 W 为热密度矩阵。
• 采用热密度矩阵 W = (1/Z) Σn e^(-βEn) |Φn⟩⟨Φn|，其中 β = 1/kBT，Z 为配分函数。
• 将映射关系推广至一般双线性哈密顿量，包括通过库仑矩阵元描述相互作用电子的体系。
• 通过验证：仅在无限温度时非局域关联函数才消失，从而确保在有限温度下映射保持双射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限温度下，双线性自旋哈密顿量中热自旋结构因子与耦合常数之间是否存在一一对应关系？
• RQ2 能否基于统计力学原理，严格证明Quintanilla定理在有限温度下的推广？
• RQ3 热关联函数与哈密顿量参数之间的映射在物理上合理的模型中是否保持可逆且唯一？
• RQ4 该定理在多大程度上适用于其他双线性系统，例如最低 Landau 亚层中电子的密度-密度关联？

主要发现

• 在一般双线性哈密顿量中，有限温度下的自旋-自旋结构因子与耦合常数之间被严格建立了一一对应关系。
• 该证明依赖于吉布斯-波利乌布不等式和反证法，表明若两个哈密顿量的关联函数完全相同，则其耦合常数必然相同。
• 该映射在所有有限温度下均为双射，且仅当哈密顿量相同或温度趋于无穷时，自由能上界才取等号。
• 在无限温度时，仅局域关联函数 ⟨Ŝz_i Ŝz_i⟩ 存在，且 ρzz_ii(T→∞) = S(S+1)/3，而所有非局域关联函数均消失。
• 该定理不仅适用于自旋系统，也适用于最低 Landau 亚层中相互作用电子的密度-密度关联，将其与库仑矩阵元建立联系。
• 该结果为从实验热数据（如中子散射测量）中学习量子哈密顿量提供了理论基础。