[论文解读] One-W-type modules for rational Cherednik algebra and cuspidal two-sided cells

Dan Ciubotaru|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文分类了在有限 Weyl 群 W 上限制为不可约的有理 Cherednik 代数 H_{0,c} 的简单模，重点关注此类模。通过 Dirac 谱同调与 one-W-型模，建立了 Lusztig 的 cuspidal 两侧行为细胞（two-sided cells）与通过 CM 空间 X_c(W) 定义的 cuspidal Calogero-Moser 细胞之间的直接联系。对于 B_n、D_n、G_2、F_4、E_6 和 E_8（E_7 除外）型的 W，cuspidal 家族位于 X_1(W) 上原点的纤维中，且对 E_8 和 E_7 给出了精确的包含关系结果。

ABSTRACT

We classify the simple modules for the rational Cherednik algebra that are irreducible when restricted to W, in the case when W is a finite Weyl group. The classification turns out to be closely related to the cuspidal two-sided cells in the sense of Lusztig. We compute the Dirac cohomology of these modules and use the tools of Dirac theory to find nontrivial relations between the cuspidal Calogero-Moser cells and the cuspidal two-sided cells.

研究动机与目标

• 分类有理 Cherednik 代数 H_{0,c} 的简单模，这些模在 W 上不可约，适用于有限 Weyl 群。
• 理解 Lusztig 意义下的 cuspidal 两侧行为细胞与通过 X_c(W) 定义的 cuspidal Calogero-Moser 细胞之间的关系。
• 应用 Dirac 谱同调技术，建立表示论中这两类划分结构之间的非平凡关系。
• 为例外型与经典型 Weyl 群提供一种统一的方法，利用 one-W-型模与 Dirac 理论。
• 支持一个猜想：对于实反射群，Calogero-Moser 划分与两侧行为细胞划分一致，尤其在 E_8 和 E_7 等情形下。

提出的方法

• 本文使用 t=0 时有理 Cherednik 代数的 Dirac 算子与 Dirac 谱同调，扩展了 [Ci] 和 [BCT] 中的构造。
• 通过表示论分析与特征分解，对 one-W-型模——即在 W 上不可约的简单 H_{0,c}-模——进行分类。
• 该方法依赖于计算 Dirac 算子在 W-表示与外代数 ∧h 的张量积上的作用，利用已知的分解规则。
• 利用 [Go] 中的同态 Θ: Irr(W) → X_1(W)，将表示映射到 Calogero-Moser 空间中的点，以分析原点上的纤维。
• 对每个 Weyl 群，检查哪些 W-类型出现在相关 cuspidal 表示 σ 的 σ ⊗ ∧h 分解中。
• 利用条件 σ(Ω_{W,1}) = 0 来限制可能位于 Θ^{-1}(0) 中的族，利用 a(F) = a(F⊗sgn) 的事实，即在符号扭转下具有对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限 Weyl 群 W，有理 Cherednik 代数 H_{0,1} 存在 one-W-型模？
• RQ2 Lusztig 意义下的 W 的 cuspidal 两侧行为细胞与同态 Θ: Irr(W) → X_1(W) 的纤维之间有何关系？
• RQ3 Dirac 谱同调技术能否检测 Calogero-Moser 细胞划分与两侧行为细胞划分之间的非平凡关系？
• RQ4 在哪些情况下，纤维 Θ^{-1}(0) 包含整个 cuspidal 家族，何时严格更大或更小？
• RQ5 该方法是否可推广至非等参数情形或超出所考虑情形的复反射群？

主要发现

• H_{0,1} 的 one-W-型模存在的充要条件是 W 具有 cuspidal 两侧行为细胞，但 E_7 例外：尽管存在 cuspidal 家族，却无此类模。
• 对于 B_n、D_n、G_2、F_4 和 E_6，cuspidal 家族 F_cusp(W) 包含于 Θ^{-1}(0)，且在 G_2、F_4 和 E_6 中等式成立。
• 对于 E_8，cuspidal 家族 F_cusp(E_8) 去掉 4480_y 表示后，包含于 Θ^{-1}(0)，且 Θ^{-1}(0) 包含于 F_cusp(E_8) ∪ {2100_y}。
• 对于 E_7，纤维 Θ^{-1}(Θ(512_a')) 仅包含 512_a' 和 512_a，二者构成整个 cuspidal 家族 F_cusp(E_7)。
• 即使在直接分类失败的情况下（如 E_7），使用 Dirac 谱同调与 one-W-型模的方法仍能得出非平凡的包含关系结果。
• 对于非等参数情形，该方法可构造非平凡的 cuspidal Calogero-Moser 细胞；例如，在 F_4 中，集合 {4_1, 6_1, 6_2, 16_1, 12_1} 对所有但有限多个参数值均包含于 Θ^{-1}(0)。