[论文解读] One-Way Ticket to Las Vegas and the Quantum Adversary

Aleksandrs Belovs, Duyal Yolcu|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新的量子拉斯维加斯查询复杂度定义，该定义与量子对偶界限完全相等，通过将对偶优化问题的可行解直接转换为量子查询算法，实现这一等价性。该方法可推广至单向访问、多预言机及非酉预言机场景，并在自然的酉置换逆问题中展示了单向与双向访问之间的分离。

ABSTRACT

We propose a new definition of quantum Las Vegas query complexity. We show that it is exactly equal to the quantum adversary bound. This is achieved by a new and very simple way of transforming a feasible solution to the adversary optimisation problem into a quantum query algorithm. This allows us to generalise the bound to include unidirectional access, multiple input oracles, and input oracles that are not unitary. As an application, we demonstrate a separation between unidirectional and bidirectional access to an input oracle for a rather natural unitary permutation inversion problem.

研究动机与目标

• 定义一种自然且通用的量子拉斯维加斯查询复杂度概念，该概念独立于误差参数，并具有良好的组合性质。
• 建立量子拉斯维加斯复杂度与量子对偶界限之间的精确等价性，解决长期存在的开放问题。
• 将对偶界限推广至包含单向访问、多输入预言机及非酉预言机的情形。
• 针对一个自然问题——酉置换逆问题——展示单向与双向访问在量子查询复杂度中的分离。
• 为未来在精确量子算法及其组合方面的研究（特别是状态转换与函数评估）奠定基础。

提出的方法

• 将量子拉斯维加斯查询复杂度定义为零误差算法中查询次数的期望值。
• 提出一种简单直接的变换方法，将量子对偶优化问题的任意可行解转换为有效的量子查询算法。
• 利用该变换证明，以负权重形式表示的量子对偶界限恰好刻画了量子拉斯维加斯复杂度。
• 通过修改对偶矩阵的结构及相应的进度函数，将该框架推广至处理单向访问。
• 将该方法应用于酉置换逆问题，表明单向访问的复杂度高于双向访问。
• 利用半定规划的强对偶性，确保变换生成的算法复杂度与对偶界限至多相差一个常数因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种简洁、精确的量子拉斯维加斯复杂度模型，使其组合良好且避免误差降低？
• RQ2 即使在存在非酉或单向预言机的情况下，量子对偶界限是否仍与量子拉斯维加斯复杂度完全相等？
• RQ3 对于自然的量子问题（如酉置换逆问题），单向与双向访问之间的复杂度差距是多少？
• RQ4 能否在保持紧致性的同时，将对偶界限扩展至非酉预言机和多输入预言机？
• RQ5 使用单向输入预言机进行近似和非相干函数评估的真实复杂度是多少？

主要发现

• 量子拉斯维加斯查询复杂度与量子对偶界限完全相等，建立了两者之间的紧密对应关系。
• 所提出的从对偶解到量子算法的变换方法简单且通用，可应用于非酉和单向预言机。
• 在酉置换逆问题中，成功展示了单向与双向访问之间的分离，表明单向访问导致更高的复杂度。
• 该框架支持量子算法的简洁组合，且不会引入误差放大，与蒙特卡洛模型不同。
• 该方法将对偶界限推广至多预言机和非酉预言机，扩展了其适用范围。
• 结果表明，先前工作中所谓的“纯化器”可被重新解释为拉斯维加斯算法，且可直接从对偶界限构造精确量子算法。