[论文解读] Online Algorithms for Multi-Level Aggregation

Marcin Bieńkowski, Martin Böhm+8 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 37被引用 9

一句话总结

本文提出了针对任意固定深度 D 的树上多层级聚合问题（MLAP）的首个常数竞争比在线算法，其竞争比为 O(D⁴2^D)。该算法通过引入一种与拉伸无关的模拟技术，能够处理包括截止日期在内的任意等待成本函数，将左连续成本函数转化为连续函数，从而在变换后的实例上使用现有在线策略，同时保持竞争性能不变。

ABSTRACT

In the Multi-Level Aggregation Problem (MLAP), requests arrive at the nodes of an edge-weighted tree T, and have to be served eventually. A service is defined as a subtree X of T that contains its root. This subtree X serves all requests that are pending in the nodes of X, and the cost of this service is equal to the total weight of X. Each request also incurs waiting cost between its arrival and service times. The objective is to minimize the total waiting cost of all requests plus the total cost of all service subtrees. MLAP is a generalization of some well-studied optimization problems; for example, for trees of depth 1, MLAP is equivalent to the TCP Acknowledgment Problem, while for trees of depth 2, it is equivalent to the Joint Replenishment Problem. Aggregation problem for trees of arbitrary depth arise in multicasting, sensor networks, communication in organization hierarchies, and in supply-chain management. The instances of MLAP associated with these applications are naturally online, in the sense that aggregation decisions need to be made without information about future requests. Constant-competitive online algorithms are known for MLAP with one or two levels. However, it has been open whether there exist constant competitive online algorithms for trees of depth more than 2. Addressing this open problem, we give the first constant competitive online algorithm for networks of arbitrary (fixed) number of levels. The competitive ratio is O(D^4*2^D), where D is the depth of T. The algorithm works for arbitrary waiting cost functions, including the variant with deadlines. We include several additional results in the paper. We show that a standard lower-bound technique for MLAP, based on so-called Single-Phase instances, cannot give super-constant lower bounds (as a function of the tree depth). This result is established by giving an online algorithm with optimal competitive ratio 4 for such instances on arbitrary trees. We also study the MLAP variant when the tree is a path, for which we give a lower bound of 4 on the competitive ratio, improving the lower bound known for general MLAP. We complement this with a matching upper bound for the deadline setting.

研究动机与目标

• 解决关于在深度大于 2 的树上是否存在常数竞争比在线算法的开放问题。
• 设计一种适用于任意等待成本函数（包括具有截止日期的函数）的一般性在线算法。
• 建立一种约化技术，将具有左连续等待成本函数的实例转化为等价的连续成本实例，且不损失竞争比。
• 证明单阶段实例（先前用于下界推导）作为树深度的函数，无法产生超常数下界。
• 为 MLAP 的路径变体提供紧致界，表明在截止日期设置下，下界为 4，且存在匹配的上界。

提出的方法

• 引入在线算法的与拉伸无关性质，确保其行为不受通过插入间隔时间隙所导致的时间轴拉伸的影响。
• 构建一种变换，通过在不连续点插入常数值区间，将左连续等待成本函数转换为连续函数。
• 在具有连续成本的变换实例上模拟在线算法 A，使用时间偏移模拟以保持与原始实例的一致性。
• 证明在原始实例上运行的模拟算法 B 可继承算法 A 的竞争比 R，这是由于成本保持和调度等价性。
• 以 OnlTree 算法为基础，通过与拉伸无关的变换扩展其以处理左连续成本。
• 通过在截止日期后分配无穷大等待成本并替换为大有限值 ℓ*ₐ，将 MLAP-D（截止日期）变体约化为具有左连续成本的 MLAP。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在一般设置下存在先前的不可能性结果，是否仍可为深度 D > 2 的树上的 MLAP 设计出常数竞争比的在线算法？
• RQ2 常用于推导下界的单阶段实例，是否本质上限制了作为树深度函数的超常数下界的可能性？
• RQ3 是否存在一种变换，可将具有左连续等待成本函数的 MLAP 约化为具有连续等待成本函数的 MLAP，同时保持竞争比不变？
• RQ4 对于路径形式的 MLAP（即深度为 2 的树），其最优竞争比是多少，特别是在截止日期设置下？
• RQ5 能否通过如与拉伸无关性等结构不变性特性，将离线 MLAP 中使用的对偶-原始框架适配到在线设置？

主要发现

• 本文提出了针对任意固定深度 D 的树上 MLAP 的首个常数竞争比在线算法，竞争比为 O(D⁴2^D)。
• 证明了单阶段实例无法作为树深度的函数产生超常数下界，通过构造该类实例的最优 4-竞争比在线算法实现。
• 离线单阶段实例可在多项式时间内被最优求解，这与一般 MLAP 实例的难解性形成鲜明对比。
• 对于 MLAP 的路径变体，建立了竞争比下界为 4，且该下界是紧致的，因为在截止日期设置下实现了匹配的上界。
• 为具有截止日期的 MLAP 提供了一个 2-近似离线算法，优于先前的近似因子。
• 证明了将 MLAP-D 约化为具有左连续成本的 MLAP 可保持竞争比，从而使得可在截止日期实例上使用连续成本算法。