[论文解读] Online and Dynamic Algorithms for Geometric Set Cover and Hitting Set

Arindam Khan, Aditya Lonkar+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Optimization and Search Problems被引用 5

一句话总结

该论文首次提出了几何集合覆盖和击中集问题的在线与动态算法，其竞争比和更新时间均为多对数级。通过引入一种新颖的四叉树分解与频率降低技术，该工作实现了针对正方形的 O(log n)-竞争比在线算法，以及针对超矩形的 O(log N)-竞争比在线算法；同时，针对 d 维超矩形，提出了具有 (log m)^O(d)-近似比和多对数更新时间的动态算法，解决了 Chan 等人（SODA'22）提出的一个开放问题。

ABSTRACT

Set cover and hitting set are fundamental problems in combinatorial optimization which are well-studied in the offline, online, and dynamic settings. We study the geometric versions of these problems and present new online and dynamic algorithms for them. In the online version of set cover (resp. hitting set), $m$ sets (resp.~$n$ points) are give $n$ points (resp.~$m$ sets) arrive online, one-by-one. In the dynamic versions, points (resp. sets) can arrive as well as depart. Our goal is to maintain a set cover (resp. hitting set), minimizing the size of the computed solution. For online set cover for (axis-parallel) squares of arbitrary sizes, we present a tight $O(\log n)$-competitive algorithm. In the same setting for hitting set, we provide a tight $O(\log N)$-competitive algorithm, assuming that all points have integral coordinates in $[0,N)^{2}$. No online algorithm had been known for either of these settings, not even for unit squares (apart from the known online algorithms for arbitrary set systems). For both dynamic set cover and hitting set with $d$-dimensional hyperrectangles, we obtain $(\log m)^{O(d)}$-approximation algorithms with $(\log m)^{O(d)}$ worst-case update time. This partially answers an open question posed by Chan et al. [SODA'22]. Previously, no dynamic algorithms with polylogarithmic update time were known even in the setting of squares (for either of these problems). Our main technical contributions are an \emph{extended quad-tree }approach and a \emph{frequency reduction} technique that reduces geometric set cover instances to instances of general set cover with bounded frequency.

研究动机与目标

• 解决几何集合覆盖与击中集问题中缺乏高效在线与动态算法的问题，特别是针对一般几何对象（如超矩形）的情况。
• 为轴对齐正方形设计在线算法，其竞争比优于一般集合覆盖算法。
• 为 d 维超矩形设计动态算法，实现多对数更新时间与近似比，解决 Chan 等人（SODA'22）提出的一个开放问题。
• 在二维正方形中实现在线集合覆盖与击中集的紧竞争比，与已知下界一致。
• 将结果扩展至加权情形，并在可能的情况下，使更新时间与近似比独立于权重比。

提出的方法

• 使用四叉树分解递归地将空间划分为单元格，以实现对集合与点的高效几何分解。
• 引入频率降低技术，将几何集合覆盖实例转化为频率有界的普通集合覆盖实例。
• 应用基于四叉树遍历的单调离线算法，选择能覆盖未覆盖区域的最有用集合（正方形）。
• 对于在线击中集问题，维护四叉树单元格中的候选点，并选择距离单元格边最近的点以击中到达的正方形。
• 通过将点转换为高维空间中的超立方体，将 d 维空间中的动态击中集问题约化为二维 2d 维空间中的动态集合覆盖问题。
• 使用秩空间约化与 BBD-树技术处理整数坐标，当候选点有限时，将竞争比从 O(log N) 提升至 O(log n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种针对轴对齐正方形的几何集合覆盖在线算法，其竞争比为 o(log n log m)，优于一般集合覆盖的界？
• RQ2 是否可能在 d 维超矩形上实现动态几何集合覆盖与击中集问题的多对数更新时间？
• RQ3 能否在正方形上实现 O(log n) 竞争比的在线击中集算法，优于 O(log N) 的已有界？
• RQ4 是否存在一种针对二维矩形的动态算法，其近似比为 O(log n)，且更新时间为多对数级？
• RQ5 能否为 VC-维数有界的集合系统设计在线算法，使其竞争比为 o(log²n)？

主要发现

• 提出了一种针对任意大小轴对齐正方形的几何集合覆盖问题的 O(log n)-竞争比在线算法，与已知的 Ω(log n) 下界一致。
• 为正方形上的几何击中集问题设计了 O(log N)-竞争比的在线算法，与区间问题的最佳已知界一致，并通过匹配的下界证明了紧性。
• 针对 d 维超矩形的动态集合覆盖问题，该论文实现了 (log m)^O(d)-近似比与 (log m)^O(d) 的最坏情况更新时间，解决了 Chan 等人（SODA'22）提出的一个开放问题。
• 针对 d 维超矩形的动态击中集问题，算法实现了 O(log⁴ᵈ⁻¹ n) 的近似比与 O(log²ᵈ⁺² n) 的更新时间，通过约化至高维集合覆盖实现。
• 在加权情形下，算法对超矩形实现了 O(log⁴ᵈ⁻¹ m · log W) 的近似比与 O(log²ᵈ m · log³(Wm)) 的更新时间。
• 结果被扩展至 2d 维空间中的超立方体，在整数坐标约束下，近似比与更新时间边界保持相似。