[论文解读] Online and Offline Greedy Algorithms for Routing with Switching Costs

Roy Schwartz, Mohit Singh+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文提出了一种混合离线贪心与随机舍入算法，针对具有切换延迟的电路交换调度问题，实现了 (1−1/e−ϵ) 的近似比，并将在线变体归约为离线问题，从而在 O(δ/ϵ) 额外时间下获得 bi-criteria (e−1)/(2e−1)−ϵ 竞争比，克服了标准 LP 松弛中无界的整数性间隙。

ABSTRACT

Motivated by the use of high speed circuit switches in large scale data centers, we consider the problem of circuit switch scheduling. In this problem we are given demands between pairs of servers and the goal is to schedule at every time step a matching between the servers while maximizing the total satisfied demand over time. The crux of this scheduling problem is that once one shifts from one matching to a different one a fixed delay $δ$ is incurred during which no data can be transmitted. For the offline version of the problem we present a $(1-\frac{1}{e}-ε)$ approximation ratio (for any constant $ε>0$). Since the natural linear programming relaxation for the problem has an unbounded integrality gap, we adopt a hybrid approach that combines the combinatorial greedy with randomized rounding of a different suitable linear program. For the online version of the problem we present a (bi-criteria) $ ((e-1)/(2e-1)-ε)$-competitive ratio (for any constant $ε>0$ ) that exceeds time by an additive factor of $O(\fracδε)$. We note that no uni-criteria online algorithm is possible. Surprisingly, we obtain the result by reducing the online version to the offline one.

研究动机与目标

• 设计高效离线与在线算法以解决具有固定切换延迟的电路交换调度问题，这是高速数据中心网络中的关键挑战。
• 克服该问题标准线性规划松弛中无界的整数性间隙。
• 尽管切换延迟引入了复杂性，仍为离线与在线变体提供可证明的近似保证。
• 建立从在线问题到离线问题的归约，以支持 bi-criteria 竞争算法。
• 尽管由于所有可能的匹配与持续时间导致基数集大小呈指数级增长，仍实现近乎最优的近似比。

提出的方法

• 一种混合算法结合组合贪心选择与专门设计线性规划的随机舍入，以处理标准松弛中无界的整数性间隙。
• 对于离线情形，该算法根据切换延迟 δ 与时间窗口 W 的比值自适应调整：当 δ ≪ W 时采用贪心策略，否则采用舍入策略。
• 对于在线情形，时间范围被划分为大小为 kδ 的块，算法在每个块的累积需求上运行离线求解器。
• 在线算法采用 bi-criteria 保证，允许时间窗口比最优值大 O(δ/ϵ)，这是由于 uni-criteria 在线算法不可能存在所致。
• 分析基于对块的归纳推理，使用系数 γ 来界定近似比，通过 β（离线性能）与 k（块大小）之间的权衡进行优化。
• 关键技术组件是构造一种改进的最优调度方案，以考虑第一块中未发送的数据，从而实现性能的归纳界。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管标准 LP 松弛存在无界的整数性间隙，是否仍可为离线电路交换调度问题实现 (1−1/e−ϵ) 的近似比？
• RQ2 能否设计一种具有切换延迟的电路交换调度在线算法，使其达到常数竞争比？
• RQ3 是否可在保持近似最优比的同时，将在线问题归约为离线问题？
• RQ4 在此设置下，实现常数竞争比的在线算法所需的最小时间开销是多少？
• RQ5 当切换延迟 δ 相对于时间窗口 W 增大时，性能如何退化？

主要发现

• 本文通过混合贪心与随机舍入方法，为离线电路交换调度问题实现了 (1−1/e−ϵ) 的近似比。
• 离线算法通过使用专门设计的线性规划与组合技术，克服了标准 LP 松弛的无界整数性间隙。
• 对于在线变体，实现了 bi-criteria 竞争比 (e−1)/(2e−1)−ϵ，且具有 O(δ/ϵ) 的附加时间开销。
• 从在线到离线的归约使得在线算法能够继承离线近似保证，损失可控，源于时间扩展。
• 分析证明，竞争比中的系数 γ 优化为 γ = β / (1 + (1−2/k)β)，其中 β 为离线近似因子。
• 结果表明，不存在 uni-criteria 在线算法，从而证明了在此设置下使用 bi-criteria 近似方法的合理性。