[论文解读] Online Covering with Convex Objectives and Applications

Yossi Azar, Ilan Reuven Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的在线算法框架，用于在在线覆盖约束下最小化一般凸、可微且非递减的目标函数，扩展了以往针对线性目标函数的研究。该框架被应用于具有启动成本和ℓp范数的非相关机器调度问题，通过分阶段的分数优化与定制化在线舍入方法，实现了近乎最优的竞争比，尤其在ℓ1范数情况下取得了改进的界。

ABSTRACT

Motivated by the importance of energy storage networks in smart grids, we provide an algorithmic study of the online energy storage management problem in a network setting, the first to the best of our knowledge. Given online power supplies, either entirely renewable supplies or those in combination with traditional supplies, we want to route power from the supplies to demands using storage units subject to a decay factor. Our goal is to maximize the total utility of satisfied demands less the total production cost of routed power. We model renewable supplies with the zero production cost function and traditional supplies with convex production cost functions. For two natural storage unit settings, private and public, we design poly-logarithmic competitive algorithms in the network flow model using the dual fitting and online primal dual methods for convex problems. Furthermore, we show strong hardness results for more general settings of the problem. Our techniques may be of independent interest in other routing and storage management problems.

研究动机与目标

• 开发一种通用的在线算法框架，用于在在线覆盖约束下最小化凸、可微且非递减的目标函数。
• 将现有在线覆盖框架——此前仅限于线性目标函数或离线打包约束——扩展至处理一般非线性凸目标函数。
• 将该框架应用于具有启动成本和ℓp范数的非相关机器调度问题，包括具有挑战性的ℓ1范数（总负载）情形。
• 为ℓ1范数情形设计一种竞争性在线舍入算法，其竞争比优于通用的ℓp舍入方法。
• 证明针对一般ℓp和专门的ℓ1情形，所获竞争比在渐近意义下是紧致的。

提出的方法

• 提出一种确定性在线算法，用于在在线覆盖约束下最小化凸目标函数，采用分数解阶段后接在线舍入的策略。
• 将在线分数优化与离线舍入技术的思想应用于非线性目标函数，以处理约束矩阵中的非正元素。
• 引入两阶段方法：首先利用通用凸框架的洞察，计算一个竞争性分数解；随后通过机器复制技术（蓝色和红色副本）在线进行舍入。
• 针对ℓ1范数，设计一种专门的舍入规则，基于覆盖分数较高的机器前缀分配作业，从而降低高成本红色副本分配的概率。
• 利用条件概率与随机优势关系，对ℓp范数和机器成本的期望增量进行有界，结合积分与集中不等式。
• 应用定理25，将ℓp范数与成本的期望界合并，推导出以Φ（分数目标值）和对数因子表示的竞争比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在在线覆盖约束下最小化凸、非线性目标函数开发一种通用的在线框架，超越已知的线性情形？
• RQ2 当目标函数为非线性且约束矩阵包含负元素时，两阶段方法（分数解后接在线舍入）应如何调整？
• RQ3 在具有启动成本和ℓp范数的非相关机器调度问题中，可实现的竞争比是多少，特别是ℓ1范数情形？
• RQ4 能否在通用ℓp舍入框架之外，进一步改进ℓ1范数情形的竞争比？
• RQ5 所推导的竞争比在渐近意义下对一般ℓp和专门的ℓ1情形是否均为紧致？

主要发现

• 论文在ℓp范数调度问题中实现了O((log m)^{1/p} log n)的竞争比，该结果在对数因子内为紧致。
• 对于ℓ1范数情形，专门设计的舍入算法实现了O(log n)的竞争比，优于通用的ℓp舍入方法，且渐近紧致。
• 该算法开启的机器的期望成本被限制在O(log n)Φ以内，其中Φ为分数目标值。
• 机器负载的期望ℓ1范数至多为2Φ，表明舍入过程在期望上保持了分数解的质量。
• 将作业分配给红色副本（即作业到达后才开启的机器）的概率至多为1/n，这对成本控制至关重要。
• 该框架推广了以往关于线性目标函数和混合打包-覆盖约束的在线覆盖研究，为非线性目标函数提供了一体化的统一方法。