[论文解读] Online dynamic mode decomposition for time-varying systems

Hao Zhang, Clarence W. Rowley+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 19被引用 25

一句话总结

该论文提出了一种高效的在线动态模式分解（DMD）算法，通过使用秩-1更新在实时计算中精确求解DMD矩阵，且无需存储历史数据。该方法引入加权因子以优先考虑近期快照，从而实现对时变动力学的精确跟踪，并在状态维数小于200的系统中，其计算效率相比标准DMD和流式DMD方法高出数个数量级。

ABSTRACT

Dynamic mode decomposition (DMD) is a popular technique for modal decomposition, flow analysis, and reduced-order modeling. In situations where a system is time varying, one would like to update the system's description online as time evolves. This work provides an efficient method for computing DMD in real time, updating the approximation of a system's dynamics as new data becomes available. The algorithm does not require storage of past data, and computes the exact DMD matrix using rank-1 updates. A weighting factor that places less weight on older data can be incorporated in a straightforward manner, making the method particularly well suited to time-varying systems. A variant of the method may also be applied to online computation of "windowed DMD", in which only the most recent data are used. The efficiency of the method is compared against several existing DMD algorithms: for problems in which the state dimension is less than about~200, the proposed algorithm is the most efficient for real-time computation, and it can be orders of magnitude more efficient than the standard DMD algorithm. The method is demonstrated on several examples, including a time-varying linear system and a more complex example using data from a wind tunnel experiment. In particular, we show that the method is effective at capturing the dynamics of surface pressure measurements in the flow over a flat plate with an unsteady separation bubble.

研究动机与目标

• 开发一种实时、内存高效的DMD计算方法，用于时变系统，且无需存储历史数据。
• 通过秩-1更新实现实时更新DMD矩阵，确保每一步计算的精确性。
• 引入遗忘因子，对近期快照赋予更高权重，从而提升对时变动力学的适应能力。
• 在合成时变系统和真实世界流体动力学数据（如风洞测量数据）上验证该方法的有效性。
• 为在线系统辨识与控制提供一种计算高效的替代方案，优于标准DMD和流式DMD。

提出的方法

• 当新的快照对 $ (\bm{x}_j, \bm{y}_j) $ 到达时，该算法通过秩-1更新计算精确的DMD矩阵 $\bm{A}_k = \bm{Y}_k \bm{X}_k^+$。
• 通过递归秩-1更新维护Moore-Penrose伪逆 $ \bm{X}_k^+ $，避免完整重新计算。
• 引入权重因子 $ \rho \in (0,1] $，对旧快照施加指数衰减权重，实现软遗忘。
• 通过使用有限时间窗口，该方法支持一种称为“窗口DMD”的变体，提供与加权在线DMD的软遗忘相对的硬截止替代方案。
• 该算法适用于 $ k > n $ 的系统，其中 $ n $ 为状态维数，确保超定最小二乘问题有良好定义。
• 每次更新的计算成本为 $ \mathcal{O}(n^2) $，使其在实时应用中具有高度效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不存储历史数据的前提下，通过在线DMD算法实现实时精确计算DMD矩阵？
• RQ2 与标准DMD相比，引入遗忘因子如何提升对时变动力学的跟踪能力？
• RQ3 对于状态维数 $ n < 200 $ 的系统，与批处理、流式和窗口DMD方法相比，在线DMD的计算效率如何？
• RQ4 该方法能否有效捕捉实验流体动力学数据（如表面压力测量）中的缓慢变化频率？
• RQ5 在跟踪时变系统中的频率变化时，加权在线DMD与窗口DMD的性能表现如何比较？

主要发现

• 所提出的在线DMD算法在实时计算中相比标准DMD的效率高出数个数量级，每次更新的计算成本为 $ 4n^2 $ 次浮点运算。
• 对于状态维数 $ n < 200 $ 的系统，该在线DMD方法在所有对比算法中（包括流式和批处理DMD）效率最高。
• 当 $ \rho = 0.999 $ 时，加权在线DMD在风洞实验中有效跟踪了缓慢变化的频率，对第1000个快照的权重约为0.37。
• 窗口大小为 $ w = 1000 $ 的窗口DMD提供硬截止，而加权在线DMD则提供更平滑的过渡，两者在捕捉时变动力学方面均优于标准DMD。
• 该方法成功捕捉了带有非定常分离泡的平板表面压力测量的动力学特性，展示了在真实世界应用中的鲁棒性。
• 该算法实现了基于精确DMD矩阵的实时系统辨识，适用于自适应控制和在线降阶建模。