[论文解读] Online Facility Location with Deletions

Marek Cygan, Artur Czumaj+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 37被引用 4

一句话总结

本论文提出了首个针对同时存在客户到达与删除的动态设施选址问题的在线竞争算法，针对无容量限制变体提出了最优的 $O(\log n_{\text{act}}/\log\log n_{\text{act}})$-竞争比算法，针对有容量限制情形提出了 $O\left(\log m + \log c \cdot \log n\right)$-竞争比算法，通过分层良好分离树（HSTs）实现对动态重连与容量约束的有效管理。

ABSTRACT

In this paper we study three previously unstudied variants of the online Facility Location problem, considering an intrinsic scenario when the clients and facilities are not only allowed to arrive to the system, but they can also depart at any moment. We begin with the study of a natural fully-dynamic online uncapacitated model where clients can be both added and removed. When a client arrives, then it has to be assigned either to an existing facility or to a new facility opened at the client's location. However, when a client who has been also one of the open facilities is to be removed, then our model has to allow to reconnect all clients that have been connected to that removed facility. In this model, we present an optimal O(log n_act / log log n_act)-competitive algorithm, where n_act is the number of active clients at the end of the input sequence. Next, we turn our attention to the capacitated Facility Location problem. We first note that if no deletions are allowed, then one can achieve an optimal competitive ratio of O(log n/ log log n), where n is the length of the sequence. However, when deletions are allowed, the capacitated version of the problem is significantly more challenging than the uncapacitated one. We show that still, using a more sophisticated algorithmic approach, one can obtain an online O(log m + log c log n)-competitive algorithm for the capacitated Facility Location problem in the fully dynamic model, where m is number of points in the input metric and c is the capacity of any open facility.

研究动机与目标

• 填补在线设施选址研究中关于客户与设施均可动态到达与离开的完全动态场景的空白。
• 设计高效的在线算法，在删除操作引入的复杂性下仍能保持较低的竞争比。
• 将现有针对仅插入场景的随机化在线算法扩展至支持删除操作，同时保持近似最优的竞争性。
• 分析在动态更新下存在容量约束的有容量限制变体，其中设施容量限制与客户离开显著增加了算法设计的挑战。

提出的方法

• 通过允许从已移除设施重新分配客户，将Meyerson的随机化仅插入算法扩展至支持删除操作，用于无容量限制设施选址问题。
• 使用分层良好分离树（HSTs）对原始度量空间进行嵌入，实现 $O(\log m)$ 的期望拉伸与 $O(\log c)$ 的深度，从而支持高效的距离估计。
• 根据客户到最优设施在HST中的距离，将被某一最优设施服务的客户划分为不同层级，并在两个阶段分析成本贡献：客户成为开放设施之前与之后。
• 应用概率分析以界定第二阶段中重新分配的期望成本，利用设施在距离 $O(\text{dist}_{\mathfrak{T}}(f, S_i))$ 内高概率可用的保证。
• 将总成本分解为三部分：设施开启成本、HST中的连接成本以及重新分配惩罚，每部分均通过集中与期望论证进行有界控制。
• 结合HST嵌入结果与分阶段分析，推导出最终的竞争比，表明对 $m$ 与 $c$ 的依赖为对数级，且在常数因子意义下为最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 在客户可到达与离开的完全动态无容量限制设施选址问题中，是否能设计出达到最优竞争比的在线算法？
• RQ2 在允许删除操作的情况下，有容量限制设施选址问题的最佳可能竞争比是多少？其与仅插入情形相比如何？
• RQ3 分层良好分离树（HSTs）框架能否有效扩展至处理有容量限制场景下的动态客户离开与设施重新分配？
• RQ4 尽管存在重连与容量约束的复杂性，是否仍能在删除操作存在时维持接近仅插入情形的竞争比？
• RQ5 在动态有容量限制模型中，点数 $m$、设施容量 $c$ 与竞争比之间存在何种权衡？

主要发现

• 针对完全动态无容量限制设施选址问题，实现了 $O(\log n_{\text{act}} / \log\log n_{\text{act}})$-竞争比的随机化算法，其竞争比与仅插入情形的已知最优界一致。
• 针对支持删除操作的有容量限制变体，本论文首次提出了 $O(\log m + \log c \cdot \log n)$-竞争比的算法。
• 有容量限制情形的竞争比被证明在期望下为 $O(\log m)$ 的连接成本与 $O(\log c \cdot \log n)$ 的重新分配惩罚，后者通过HST嵌入与集中不等式得到有界控制。
• 分析表明，第二阶段（客户成为设施后）重新分配客户的期望成本被限制在 $O(\text{dist}_{\mathfrak{T}}(f, S_i)) + 120 \cdot \log c \cdot \ln n / c$，其对竞争比的贡献为 $O(\log c \cdot \log n)$。
• HSTs的使用确保了 $O(\log m)$ 的期望拉伸与 $O(\log c)$ 的深度，从而在动态环境中高效近似距离与设施可用性。
• 本论文表明，尽管删除操作引入了额外复杂性，但无容量限制与有容量限制变体均存在在线算法，其竞争比与仅插入情形的界匹配或近乎匹配。