[论文解读] Online Geometric Discrepancy for Stochastic Arrivals with Applications to Envy Minimization

Haotian Jiang, Janardhan Kulkarni+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2019

Mathematical Approximation and Integration参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一种高效的在线算法，用于在随机设置下的几何差异最小化问题，其中点以均匀随机方式在单位区间或单位正方形上到达。该算法通过利用基于双曲正弦函数的新型势函数，动态平衡区间不平衡，实现了次多项式期望差异——显著优于随机着色的 $~ O(ar{n})$。该方法被应用于改进在线分配问题中的嫉妒最小化。

ABSTRACT

Consider a unit interval $[0,1]$ in which $n$ points arrive one-by-one independently and uniformly at random. On arrival of a point, the problem is to immediately and irrevocably color it in $\{+1,-1\}$ while ensuring that every interval $[a,b] \subseteq [0,1]$ is nearly-balanced. We define \emph{discrepancy} as the largest imbalance of any interval during the entire process. If all the arriving points were known upfront then we can color them alternately to achieve a discrepancy of $1$. What is the minimum possible expected discrepancy when we color the points online? We show that the discrepancy of the above problem is sub-polynomial in $n$ and that no algorithm can achieve a constant discrepancy. This is a substantial improvement over the trivial random coloring that only gets an $\widetilde{O}(\sqrt n)$ discrepancy. We then obtain similar results for a natural generalization of this problem to $2$-dimensions where the points arrive uniformly at random in a unit square. This generalization allows us to improve recent results of Benade et al.\cite{BenadeKPP-EC18} for the online envy minimization problem when the arrivals are stochastic.

研究动机与目标

• 解决点以均匀随机方式到达而非对抗性到达的在线几何差异问题中最小化差异的挑战。
• 设计一种高效的在线算法，实现次多项式期望差异，优于随机着色的 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ 边界。
• 将改进的差异边界应用于在线嫉妒最小化问题，特别是在随机到达的场景中。
• 证明在随机区间设置下，没有在线算法能实现常数差异，尽管离线解可实现差异 1。
• 通过基于树的构造证明分离引理的紧致性，建立在线差异的理论极限。

提出的方法

• 该算法使用基于双曲正弦函数的势函数 $\sinh(\lambda x)$，在点到达时动态平衡区间不平衡。
• 它在每个点周围定义一个“危险”区域，以控制势函数中的抵消效应，确保不平衡不会不受控制地增长。
• 分析中引入了一个分离引理，用于界定成对点之间 $\sinh(\lambda x)$ 项之和的上界，表明其组合不平衡至少为单个最大不平衡的 $\frac{8}{9}$。
• 采用递归的基于树的构造来证明分离引理的紧致性，表明该界无法被显著改进。
• 该方法通过仔细平衡正负不平衡，控制势函数的增长，确保期望差异在 $n$ 上保持次多项式。
• 该算法是在线的：它在点到达时立即且不可撤销地分配颜色 $+1$ 或 $-1$，仅使用局部信息和势函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机到达的几何差异问题中，是否能通过在线算法实现次多项式期望差异，优于随机着色的 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ 边界？
• RQ2 在均匀随机到达的在线区间差异问题中，是否可能实现显著小于 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ 的差异？
• RQ3 在随机区间设置下，在线差异的根本极限是什么？能否实现常数差异？
• RQ4 如何利用改进的差异边界来提升在线嫉妒最小化问题中的性能？
• RQ5 能否证明双曲函数的分离引理是紧致的？这对差异最小化的极限有何含义？

主要发现

• 本文证明，在随机区间差异问题中，没有在线算法能实现常数差异，即使在随机到达下也是如此。
• 设计了一种高效的在线算法，实现了次多项式期望差异，显著优于随机着色的 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ 边界。
• 关键技术贡献是一个分离引理，表明对于任意两点 $x$ 和 $y$，在特定条件下，有 $|\sinh(\lambda x) + \sinh(\lambda y)|$ 至少为 $|\sinh(\lambda x)|$ 和 $|\sinh(\lambda y)|$ 的最大值的 $\frac{8}{9}$。
• 分析表明，期望差异的增长速度慢于 $n$ 的任何多项式，意味着其增长为次多项式。
• 该方法被扩展到单位正方形中的二维情形，得到了类似的次多项式差异边界。
• 结果改进了 Benade 等人 [BKPP18] 的近期在线嫉妒最小化边界，特别是在随机到达模型中。