[论文解读] Online Local Volatility Calibration by Convex Regularization with Morozov's Principle and Convergence Rates

Vinicius Albani, Jorge P. Zubelli|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于Bochner-Sobolev空间内凸Tikhonov正则化方法的在线局部波动率校准方法，整合了以标的资产价格为索引的动态市场数据。在Morozov不一致原理下建立了收敛速率，确保了校准过程的稳定性和准确性，并对正则化参数选择提供了理论保证。

ABSTRACT

We address the inverse problem of local volatility surface calibration from market given option prices. We integrate the ever-increasing flow of option price information into the well-accepted local volatility model of Dupire. This leads to considering both the local volatility surfaces and their corresponding prices as indexed by the observed underlying stock price as time goes by in appropriate function spaces. The resulting parameter to data map is defined in appropriate Bochner-Sobolev spaces. Under this framework, we prove key regularity properties. This enable us to build a calibration technique that combines online methods with convex Tikhonov regularization tools. Such procedure is used to solve the inverse problem of local volatility identification. As a result, we prove convergence rates with respect to noise and a corresponding discrepancy-based choice for the regularization parameter. We conclude by illustrating the theoretical results by means of numerical tests.

研究动机与目标

• 解决从流式期权价格出发的局部波动率曲面校准这一不适定逆问题。
• 将随时间演化的、以标的资产价格为索引的市场数据整合进校准框架。
• 开发一种结合Tikhonov正则化与凸分析的在线正则化方法，以提升稳定性。
• 在噪声水平与不一致原则基础上，建立关于正则化参数选择的理论收敛速率。
• 确保在适当函数空间中参数到解映射的适定性与正则性。

提出的方法

• 将局部波动率曲面建模为到期时间与行权价的函数，并以标的资产价格 $ S_0 $ 为索引。
• 在Bochner-Sobolev空间中定义参数到解的映射 $ \boldsymbol{\nu} $，以处理时变波动率族。
• 将在线校准表述为Tikhonov正则化最小化问题：$ \min \left\{ \int_{S_{\min}}^{S_{\max}}} \|F(a(S)) - C(S)\|_Y^2 dS + \alpha f_{\mathcal{A}_0}(\mathcal{A}) \right\} $。
• 应用凸正则化，采用弱下半连续且强制的泛函 $ f_{\mathcal{A}_0} $ 以稳定不适定逆问题。
• 利用Morozov不一致原理，基于噪声水平与数据保真度选择正则化参数 $ \alpha $。
• 证明算子 $ \mathcal{U} $ 的紧性、弱连续性与弱闭性，确保正则化方案的适定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将随时间演化的期权价格在线数据整合进局部波动率校准中？
• RQ2 在Bochner-Sobolev空间中，参数到解映射 $ \mathcal{U} $ 具备何种正则性性质？
• RQ3 在存在噪声的情况下，能否为在线局部波动率校准建立收敛速率？
• RQ4 如何利用不一致原理自适应选择正则化参数？
• RQ5 在线Tikhonov正则化校准方案的理论稳定性与收敛行为如何？

主要发现

• 将波动率族映射到期权价格的算子 $ \mathcal{U} $ 是紧的且弱闭的，证实了逆问题的不适定性。
• 所提出的在线Tikhonov正则化方案确保了当噪声趋于零时，正则化解收敛于真实的波动率曲面。
• 在源条件成立下，关于噪声水平 $ \delta $，建立了 $ \mathcal{O}(\delta^{\frac{1}{2}}) $ 阶的收敛速率。
• 正则化参数 $ \alpha $ 通过Morozov不一致原理选择，确保了数据保真度与稳定性。
• 算子 $ \mathcal{U} $ 的单边导数有界且满足Lipschitz连续性，证实了解映射的Fréchet可微性。
• 理论分析证实了解算子的弱连续性与弱闭性，支持在弱收敛假设下的收敛性。