[论文解读] Online Matching with Set and Concave Delays

Lindsey Deryckere, Seeun William Umboh|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2022

Optimization and Search Problems被引用 2

一句话总结

本文引入了带集合延迟的在线最小费用完美匹配（MPMD-Set），其中延迟成本取决于未匹配请求的整个集合，而非单个请求。论文提出了首个针对具有基于大小延迟（即延迟随未匹配请求数量增加而增加）的MPMD-Set的非预见性算法，通过一种新颖的到度量任务系统（MTS）的约化，实现了O(2^m)竞争比的确定性算法和O(m^4)竞争比的随机化算法。

ABSTRACT

We initiate the study of online problems with set delay, where the delay cost at any given time is an arbitrary function of the set of pending requests. In particular, we study the online min-cost perfect matching with set delay (MPMD-Set) problem, which generalises the online min-cost perfect matching with delay (MPMD) problem introduced by Emek et al. (STOC 2016). In MPMD, m requests arrive over time in a metric space of n points. When a request arrives the algorithm must choose to either match or delay the request. The goal is to create a perfect matching of all requests while minimising the sum of distances between matched requests, and the total delay costs incurred by each of the requests. In contrast to previous work we study MPMD-Set in the non-clairvoyant setting, where the algorithm does not know the future delay costs. We first show no algorithm is competitive in n or m. We then study the natural special case of size-based delay where the delay is a non-decreasing function of the number of unmatched requests. Our main result is the first non-clairvoyant algorithms for online min-cost perfect matching with size-based delay that are competitive in terms of m. In fact, these are the first non-clairvoyant algorithms for any variant of MPMD. A key technical ingredient is an analog of the symmetric difference of matchings that may be useful for other special classes of set delay. Furthermore, we prove a lower bound of Ω(n) for any deterministic algorithm and Ω(log n) for any randomised algorithm. These lower bounds also hold for clairvoyant algorithms. Finally, we also give an m-competitive deterministic algorithm for uniform concave delays in the clairvoyant setting.

研究动机与目标

• 研究在线最小费用完美匹配带集合延迟的问题，其中延迟是待处理请求集合的函数，推广了以往针对单个请求延迟的研究。
• 为MPMD-Set设计具有竞争力的非预见性算法，其中未来延迟成本和度量结构未知。
• 在非预见性设置下，为任何在线匹配延迟变体建立首个具有竞争力的算法。
• 证明在MPMD-Size设置下，确定性算法的紧下界为Ω(n)，随机化算法的紧下界为Ω(log n)。
• 在预见性设置下，为具有均匀凹延迟的MPMD提供一个O(m)-竞争力的确定性算法。

提出的方法

• 将MPMD-Size约化为度量任务系统（MTS）问题，利用已知的MTS算法推导出具有竞争力的在线算法。
• 引入了一种匹配的对称差分的新类比，有助于分析集合延迟成本。
• 使用概率对抗者论证推导下界，构造了包含n个点和m个请求的度量空间上的输入分布。
• 在下界证明中应用调和级数分析，对非活跃未饱和点进行条件化，以界定期望距离成本。
• 通过归纳法证明，在每个阶段结束时至少存在两个非活跃未饱和点，从而确保不可避免的匹配成本。
• 对最先进的MTS算法进行调整，以处理基于大小的延迟函数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为带集合延迟的在线最小费用完美匹配设计具有竞争力的非预见性算法？
• RQ2 在非预见性设置下，MPMD-Set的最优可能竞争比是多少？
• RQ3 MPMD-Size的下界是否依赖于n或m，其紧形式是什么？
• RQ4 MTS约化框架能否有效应用于推导集合延迟问题的具有竞争力的算法？
• RQ5 在预见性设置下，是否存在一个O(m)-竞争力的确定性算法用于具有均匀凹延迟的MPMD？

主要发现

• 论文证明，任何针对MPMD-Set的确定性算法都无法仅基于n或m实现竞争力，其关于度量比Φ的下界为Ω(Φ)。
• 针对具有基于大小延迟的MPMD-Size，首次提出非预见性算法，实现了O(2^m)-竞争力的确定性算法和O(m^4)-竞争力的随机化算法。
• 所提算法的竞争比仅依赖于m，而不依赖于n，相较于先前工作有显著改进。
• 在MPMD-Size设置下，证明了任何确定性算法的下界为Ω(n)，任何随机化算法的下界为Ω(log n)。
• 在预见性设置下，为具有均匀凹延迟的MPMD提供了一个O(m)-竞争力的确定性算法。
• 分析表明，该算法的期望距离成本为Ω(log n)，与下界匹配，从而证明了随机化下界结果的紧致性。