[论文解读] Online Nash Social Welfare Maximization with Predictions

Siddhartha Banerjee, Vasilis Gkatzelis+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2020

Auction Theory and Applications参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文提出了一种在线算法，用于在动态资源分配场景中最大化纳什社会福利，其中可分商品按顺序到达，且代理的估值仅在分配时才被揭示。通过利用每个代理的垄断者效用（即若所有商品均分配给该代理时的总价值）的预测，该算法在预测准确时实现了 $O(\log N)$ 和 $O(\log T)$ 的竞争比，且在预测存在误差时表现出平滑的性能退化，对不准确预测具有鲁棒性，同时证明了这些界在本质上是紧致的。

ABSTRACT

We consider the problem of allocating a set of divisible goods to $N$ agents in an online manner, aiming to maximize the Nash social welfare, a widely studied objective which provides a balance between fairness and efficiency. The goods arrive in a sequence of $T$ periods and the value of each agent for a good is adversarially chosen when the good arrives. We first observe that no online algorithm can achieve a competitive ratio better than the trivial $O(N)$, unless it is given additional information about the agents' values. Then, in line with the emerging area of "algorithms with predictions", we consider a setting where for each agent, the online algorithm is only given a prediction of her monopolist utility, i.e., her utility if all goods were given to her alone (corresponding to the sum of her values over the $T$ periods). Our main result is an online algorithm whose competitive ratio is parameterized by the multiplicative errors in these predictions. The algorithm achieves a competitive ratio of $O(\log N)$ and $O(\log T)$ if the predictions are perfectly accurate. Moreover, the competitive ratio degrades smoothly with the errors in the predictions, and is surprisingly robust: the logarithmic competitive ratio holds even if the predictions are very inaccurate. We complement this positive result by showing that our bounds are essentially tight: no online algorithm, even if provided with perfectly accurate predictions, can achieve a competitive ratio of $O(\log^{1-ε} N)$ or $O(\log^{1-ε} T)$ for any constant $ε>0$.

研究动机与目标

• 解决在对抗性估值下，于在线可分资源分配场景中最大化纳什社会福利的挑战。
• 克服在无额外信息条件下在线设置中无法实现次线性竞争比的固有不可能性。
• 设计一种利用代理垄断者效用预测的在线算法，以实现强性能保证。
• 分析算法对预测误差的鲁棒性，并确立竞争比界紧致性。

提出的方法

• 该算法利用每个代理的垄断者效用预测（即若其获得所有商品时的总价值）来指导分配决策。
• 采用预留贪婪策略，通过考虑比值 $\frac{v_{i,t}}{\tilde{u}_{i,t}(z_{i,t})}$ 平衡当前效用收益与未来公平性，其中 $\tilde{u}_{i,t}(z_{i,t})$ 表示过去分配带来的预测效用。
• 在每个时间步，通过求解一个凸优化问题来最大化对数效用之和，受制于物品容量的 $1/2$。
• 通过迭代地将边际份额分配给当前边际比值 $\frac{v_{i,t}}{\tilde{u}_{i,t}(z_{i,t})}$ 最小的代理，该算法在每轮中以 $O(N)$ 时间高效计算分配。
• 根据当前边际效用与预测效用的比值动态维护代理的排序，确保边际分配的最优性。
• 通过证明：将资源分配给该比值最小的代理可最小化当前承诺价格，从而等价于求解对偶优化问题，来证明该方法的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无额外信息条件下，在线算法能否实现纳什社会福利最大化问题的次线性竞争比？
• RQ2 当代理垄断者效用预测不准确时，在线算法的性能如何退化？
• RQ3 当预测完全准确时，是否可实现 $O(\log N)$ 和 $O(\log T)$ 的竞争比？
• RQ4 即使在预测完全准确的情况下，$O\left(\log N\right)$ 和 $O\left\(\log T\right)$ 的竞争比是否本质上是紧致的？
• RQ5 该算法对预测垄断者效用中存在较大误差时的鲁棒性如何？

主要发现

• 当垄断者效用预测完全准确时，所提算法实现了 $O(\log N)$ 和 $O(\log T)$ 的竞争比。
• 随着预测中乘法误差的增加，竞争比表现出平滑退化，即使在显著不准确的情况下仍保持强性能。
• 该算法表现出极强的鲁棒性：即使预测严重不准确，竞争比仍保持在 $O(\log N)$ 和 $O(\log T)$，展现出对预测误差的显著抗性。
• 本文证明，即使在预测完全准确的情况下，任何在线算法也无法实现 $O(\log^{1-\epsilon}N)$ 或 $O(\log^{1-\epsilon}T)$ 的竞争比（对任意 $\epsilon > 0$），从而确立了边界的紧致性。
• 该算法的计算复杂度为 $O(TN)$（在 $T$ 轮内），每轮可通过基于边际比值的贪婪分配策略在 $O(N)$ 时间内求解。
• 该算法的正确性基于对偶性论证：最小化承诺价格等价于在分数分配约束下最大化对数效用之和。