[论文解读] Online Paintability: The Slow-Coloring Game

Thomas A. Mahoney, Gregory J. Puleo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文引入了慢速着色游戏，这是一种在线图着色游戏，其中列表生成者通过标记顶点来最大化得分，而着色者通过为独立集着色来最小化得分。作者建立了总着色成本 $\overline{s}(G)$ 的紧致界，证明在 $n$ 个顶点的树中，星形图使该值最小化，路径图使该值最大化，并为完全二分图 $K_{r,s}$ 提供了精确值和渐近界，包括 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(K_{r,r}) \sim 4r$。主要贡献在于一个递归公式和紧致界，该公式推广了在线总列表着色和可涂色性中的已知结果。

ABSTRACT

The slow-coloring game is played by Lister and Painter on a graph $G$. On each round, Lister marks a nonempty subset $M$ of the uncolored vertices, scoring $|M|$ points. Painter then gives a color to a subset of $M$ that is independent in $G$. The game ends when all vertices are colored. Painter and Lister want to minimize and maximize the total score, respectively. The best score that each player can guarantee is the sum-color cost of $G$, written $\mathring{\mathrm{s}}(G)$. The game is an online variant of online sum list coloring. We proe $\frac{|V(G)|}{2α(G)} + \frac{1}{2} \leq \frac{\mathring{\mathrm{s}}(G)}{|V(G)|} \leq \max\left\{ \frac{|V(H)|}{α(H)} : H \subset G ight\}$, where $α(G)$ is the independence number, and we study when equality holds in the bounds. We compute $\mathring{\mathrm{s}}(G)$ for graphs with $α(G) = 2$. Among $n$-vertex graphs, we prove that $\mathring{\mathrm{s}}$ is minimized by the star and maximized by the path. We also obtain good bounds on $\mathring{\mathrm{s}}(K_{r,s})$.

研究动机与目标

• 定义并分析慢速着色游戏作为在线总列表着色和 $f$-涂色游戏的一种在线变体。
• 确定在双方最优策略下均可保证的总着色成本 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)$。
• 根据独立数和子图结构，推导 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)$ 的紧致上下界。
• 计算 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)$ 在 $\alpha(G) = 2$、树以及完全二分图 $K_{r,s}$ 上的值。

提出的方法

• 提出递归公式：$\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G) = \max_{\emptyset \neq M \subseteq V(G)} \left( |M| + \min \, \operatorname{\mathaccent 23{s}}(G - I) \right) $，其中 $I \subseteq M$ 是独立集。
• 使用数学归纳法和情况分析证明 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(K_{r,s})$ 的下界，策略基于在较大和较小部分中标记顶点。
• 通过递归计算和对小图的数值探索建立上界，从而提出猜想 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(K_{r,r}) = 4r - \sqrt{r} - \log_3 r + O(1)$。
• 利用已知的总可选择性和可涂色性结果，将 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)$ 与 $\chi_{\mathrm{SC}}(G)$ 和 $\chi_{\mathrm{SP}}(G)$ 关联，证明 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G) \leq \chi_{\mathrm{SP}}(G)$。
• 分析极值图：证明在 $n$ 个顶点的树中，星形图使 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)$ 最小化，路径图使该值最大化。
• 使用阈值函数 $J = i\sqrt{r/s}$ 推导不等式，以验证 $K_{r,s}$ 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于独立数 $\alpha(G) = 2$ 的图，总着色成本 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)$ 是多少？
• RQ2 在 $n$ 个顶点的树中，$\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)$ 如何变化？哪些树使其最小化和最大化？
• RQ3 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(K_{r,s})$ 的紧致上下界是什么？其渐近行为如何？
• RQ4 慢速着色游戏与总可选择性和总可涂色性有何关联？$\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G) \leq \chi_{\mathrm{SP}}(G)$ 的含义是什么？
• RQ5 总着色成本能否递归计算？列表生成者和着色者的最优策略具有何种结构？

主要发现

• 对于 $n$ 个顶点的树，$\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)$ 在星形图时最小化，在路径图时最大化，且路径图在同阶所有树中取得最高得分。
• 完全二分图 $K_{r,r}$ 的总着色成本满足 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(K_{r,r}) \leq 4r$，计算数据表明 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(K_{r,r}) = 4r - \sqrt{r} - \log_3 r + O(1)$，支持猜想 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(K_{r,r}) \sim 4r$。
• 对于 $K_{r,s}$ 且满足 $r \geq s \geq 1$，有下界 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(K_{r,s}) \geq r + \frac{5s - 3}{2} + u_{r-s}$，其中 $u_t = \left\lfloor \frac{-1 + \sqrt{8t + 1}}{2} \right\rfloor$，且在小规模情况下等号成立。
• 总着色成本满足 $\frac{|V(G)|}{2\alpha(G)} + \frac{1}{2} \leq \frac{\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)}{|V(G)|} \leq \max_{H \subseteq G} \frac{|V(H)|}{\alpha(H)}$，并分析了等号成立的条件。
• 对于列表生成者而言，慢速着色游戏比 $f$-涂色游戏更强，因为 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G) \leq \chi_{\mathrm{SP}}(G)$，但 $\chi_{\mathrm{SC}}(G) \leq \chi_{\mathrm{SP}}(G)$，且 $\chi_{\mathrm{SC}}(G)$ 可能严格小于 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(G)$，表明该游戏并不总是等价于总可选择性。
• 对于 $K_{3,3}$，精确的总着色成本为 $\operatorname{\mathaccent 23{s}}(K_{3,3}) = 10$，这将下界比值从 $3$ 提高到 $10/3 \approx 3.33$，暗示渐近界趋近于 $4r$。