[论文解读] Online Sorting and Online TSP: Randomized, Stochastic, and High-Dimensional

Mikkel Abrahamsen, Ioana O. Bercea+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Optimization and Search Problems被引用 1

一句话总结

该论文通过证明在实数输入下，O(√n)的竞争比即使在随机化情况下也无法改进，解决了在线排序和在线TSP中的开放问题；在独立同分布的均匀样本输入下，建立了eO(n^{1/4})的竞争比；并将O(√n)-竞争力扩展至固定维度d的高维欧几里得空间Rd。研究结果揭示了与哈希表设计的联系，并推进了对在线几何与度量TSP问题的理解。

ABSTRACT

In the online sorting problem, $n$ items are revealed one by one and have to be placed (immediately and irrevocably) into empty cells of a size-$n$ array. The goal is to minimize the sum of absolute differences between items in consecutive cells. This natural problem was recently introduced by Aamand, Abrahamsen, Beretta, and Kleist (SODA 2023) as a tool in their study of online geometric packing problems. They showed that when the items are reals from the interval $[0,1]$ a competitive ratio of $O(\sqrt{n})$ is achievable, and no deterministic algorithm can improve this ratio asymptotically. In this paper, we extend and generalize the study of online sorting in three directions: - randomized: we settle the open question of Aamand et al. by showing that the $O(\sqrt{n})$ competitive ratio for the online sorting of reals cannot be improved even with the use of randomness; - stochastic: we consider inputs consisting of $n$ samples drawn uniformly at random from an interval, and give an algorithm with an improved competitive ratio of $\widetilde{O}(n^{1/4})$. The result reveals connections between online sorting and the design of efficient hash tables; - high-dimensional: we show that $\widetilde{O}(\sqrt{n})$-competitive online sorting is possible even for items from $\mathbb{R}^d$, for arbitrary fixed $d$, in an adversarial model. This can be viewed as an online variant of the classical TSP problem where tasks (cities to visit) are revealed one by one and the salesperson assigns each task (immediately and irrevocably) to its timeslot. Along the way, we also show a tight $O(\log{n})$-competitiveness result for uniform metrics, i.e., where items are of different types and the goal is to order them so as to minimize the number of switches between consecutive items of different types.

研究动机与目标

• 解决Aamand等人（SODA 2023）提出的开放问题：在[0,1]区间内，随机化是否能改进在线排序实数的O(√n)竞争比。
• 分析在随机输入模型下的在线排序，其中项目为区间内独立同分布的均匀样本，并推导出改进的竞争比。
• 将在线排序问题扩展至固定维度d的高维欧几里得空间Rd，并在对抗性输入下建立竞争比。
• 探索在线排序与高效哈希表设计之间的联系，特别是通过线性探测和缓冲空间利用。
• 研究在各种度量下（包括Rd和均匀度量）在线TSP的竞争比，并识别建议模型和部分排序输入中的开放问题。

提出的方法

• 通过构造一个困难的输入分布并分析期望代价，证明即使面对盲从对手，任何随机化算法也无法在[0,1]区间内实数的在线排序中实现优于Ω(√n)的竞争比。
• 设计一种针对随机输入的随机化在线算法，使用哈希函数h(x) = ⌊βn · x⌋将项目映射到数组索引，并使用大小为αn的缓冲区以防止回绕并减少探测步骤。
• 将在线排序过程与大小为βn的更大数组上的线性探测过程相结合，利用Knuth关于线性探测的经典结果，以限制每次插入的期望步数。
• 利用定理30（Knuth, 1963）对线性探测的分析，限制期望总步数，从而得出竞争比的上界为O(1 + 1/(γ−1))，其中γ > 1控制缓冲区大小。
• 通过采用类似的哈希与缓冲策略，将对抗性在线排序模型扩展至Rd，证明对于固定的d，O(√n)-竞争力是可实现的。
• 分析均匀度量情况（最小化不同项目类型之间的切换），并证明竞争比为紧致的O(log n)，从而完整刻画了不同度量结构下的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使面对盲从对手，随机化能否改进[0,1]区间内实数在线排序的O(√n)竞争比？
• RQ2 当输入为区间内独立同分布的均匀样本时，可以实现多好的竞争比？这与哈希表性能有何关联？
• RQ3 在对抗性输入下，对于固定d ≥ 1的高维欧几里得空间Rd，O(√n)-竞争力是否可实现？
• RQ4 在线TSP在Rd中的最优竞争比是多少？其随d和n如何变化？
• RQ5 能否设计一种在线排序与列表标记之间的混合模型，以在在线排序问题中平衡误差与调整成本？

主要发现

• 在[0,1]区间内实数的在线排序中，O(√n)的竞争比即使在随机化情况下也是最优的，因为没有任何算法能在盲从对手下实现o(√n)的竞争性。
• 对于区间内独立同分布的均匀输入，本文实现了显著优于最坏情况O(√n)边界的改进竞争比eO(n^{1/4})。
• 在对抗性输入下，对于任意固定的d ≥ 1，Rd中在线排序的O(√n)竞争比是可实现的，从而将问题扩展至高维空间。
• 分析揭示了在线排序与哈希表中线性探测之间的强关联，通过哈希表性能的经典结果，限定了期望探测步数。
• 对于均匀度量（最小化不同项目类型之间的切换），本文建立了紧致的O(log n)竞争比，完全解决了这一特殊情况。
• 在线TSP在Rd中的上界为O(√n log n)，与Ω(√n)的下界相比存在log n的差距，表明在n和d的依赖关系上仍有改进空间。