[论文解读] Online Stochastic Bin Packing

Varun Gupta, Ana Radovanović|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Optimization and Search Problems参考文献 18被引用 25

一句话总结

本文提出了一类受凸优化内点法启发的、与分布无关的在线随机装箱算法。这些算法在所有物品尺寸分布下均实现 $Ø(\sqrt{T})$ 的加法次优性，优于以往基于学习或针对特定分布的方法，后者在严格假设下仅能达到 $o(T)$ 的遗憾值。

ABSTRACT

Bin packing is an algorithmic problem that arises in diverse applications such as remnant inventory systems, shipping logistics, and appointment scheduling. In its simplest variant, a sequence of $T$ items (e.g., orders for raw material, packages for delivery) is revealed one at a time, and each item must be packed on arrival in an available bin (e.g., remnant pieces of raw material in inventory, shipping containers). The sizes of items are i.i.d. samples from an unknown distribution, but the sizes are known when the items arrive. The goal is to minimize the number of non-empty bins (equivalently waste, defined to be the total unused space in non-empty bins). This problem has been extensively studied in the Operations Research and Theoretical Computer Science communities, yet all existing heuristics either rely on learning the distribution or exhibit $o(T)$ additive suboptimality compared to the optimal offline algorithm only for certain classes of distributions (those with sublinear optimal expected waste). In this paper, we propose a family of algorithms which are the first truly distribution-oblivious algorithms for stochastic bin packing, and achieve $\mathcal{O}(\sqrt{T})$ additive suboptimality for all item size distributions. Our algorithms are inspired by approximate interior-point algorithms for convex optimization. In addition to regret guarantees for discrete i.i.d. sequences, we extend our results to continuous item size distribution with bounded density, and also prove a family of novel regret bounds for non-i.i.d. input sequences. To the best of our knowledge these are the first such results for non-i.i.d. and non-random-permutation input sequences for online stochastic packing.

研究动机与目标

• 解决在线随机装箱中现有启发式方法需要学习分布或仅适用于特定分布且最优浪费为次线性的问题。
• 设计真正与分布无关的算法——无需事先了解物品尺寸分布——同时实现强遗憾界。
• 为在线随机装箱中的非 i.i.d. 和非随机排列输入序列提供首个遗憾保证。
• 将理论结果从离散 i.i.d. 序列扩展到具有有界密度的连续分布。
• 在所有物品尺寸分布下均实现 $Ø(\sqrt{T})$ 的加法次优性，无论底层分布特性如何。

提出的方法

• 通过带惩罚的拉格朗日对偶框架，将在线装箱问题建模为凸优化问题。
• 设计一种基于内点法的原始-对偶算法，其中惩罚函数（如对数障碍或平移二次函数）确保平滑性和稳定性。
• 采用动态更新规则，根据当前状态和物品到达情况调整箱的使用，逐步最小化拉格朗日函数。
• 利用二阶泰勒展开和惩罚函数的性质，界定每次物品到达时拉格朗日函数的期望变化。
• 通过将在线算法的拉格朗日函数变化与理想离线算法 $A_F$ 的变化关联，推导出遗憾界。
• 应用集中与平滑性论证，表明次优性差距对所有分布（包括连续和非 i.i.d. 输入）均以 $\mathcal{O}(\sqrt{T})$ 的速度增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种在线装箱算法，在不学习分布的前提下，对所有物品尺寸分布均实现 $\mathcal{O}(\sqrt{T})$ 的加法次优性？
• RQ2 如何将凸优化中的内点法适配到随机装箱中的在线、顺序决策问题？
• RQ3 在非 i.i.d. 或半对抗性输入序列中，在线随机装箱的遗憾界可以建立为何种形式？
• RQ4 与分布无关的算法能否在所有分布（包括重尾或有界密度的物品尺寸）下实现关于 $T$ 的次线性次优性？
• RQ5 在原始-对偶框架中，何种惩罚函数能在该场景下实现收敛性与遗憾之间的最优权衡？

主要发现

• 采用对数障碍惩罚的所提原始-对偶算法，其遗憾界被限定为 $Tb(F) + 4\sqrt{BT\log(T+1)}$，其中 $b(F)$ 为每件物品的最优期望浪费。
• 使用平移二次惩罚函数可获得更紧的遗憾界 $Tb(F) + \sqrt{2BT}$，且不依赖对数因子。
• 该算法在所有物品尺寸分布（包括具有有界密度的连续分布）下均实现 $\mathcal{O}(\sqrt{T})$ 的加法次优性。
• 对于非 i.i.d. 或半对抗性序列，该框架提供了新颖的遗憾界，突破了 i.i.d. 和随机排列的假设限制。
• 该方法与分布无关：无需估计或学习物品尺寸的底层分布。
• 理论分析表明，所用箱数的期望值在所有分布下均与最优离线解相差 $\mathcal{O}(\sqrt{T})$。