[论文解读] Online Stochastic Matching: Beating 1-1/e

Jon Feldman, Aranyak Mehta+2 more|ArXiv.org|May 26, 2009

Optimization and Search Problems参考文献 8被引用 40

一句话总结

本文提出了一种新颖的在线随机匹配算法，打破了长期存在的 $1 - 1/e \approx 0.632$ 近似界限，通过在增强流图中计算两个不相交的离线匹配，并基于优先级进行在线分配，实现了 $\approx 0.67$ 的竞争比。该方法利用了双选择机制与一种新颖的基于割的上界分析，证明了结果的紧致性与最优性。

ABSTRACT

We study the online stochastic bipartite matching problem, in a form motivated by display ad allocation on the Internet. In the online, but adversarial case, the celebrated result of Karp, Vazirani and Vazirani gives an approximation ratio of $1-1/e$. In the online, stochastic case when nodes are drawn repeatedly from a known distribution, the greedy algorithm matches this approximation ratio, but still, no algorithm is known that beats the $1 - 1/e$ bound. Our main result is a 0.67-approximation online algorithm for stochastic bipartite matching, breaking this $1 - {1/e}$ barrier. Furthermore, we show that no online algorithm can produce a $1-ε$ approximation for an arbitrarily small $ε$ for this problem. We employ a novel application of the idea of the power of two choices from load balancing: we compute two disjoint solutions to the expected instance, and use both of them in the online algorithm in a prescribed preference order. To identify these two disjoint solutions, we solve a max flow problem in a boosted flow graph, and then carefully decompose this maximum flow to two edge-disjoint (near-)matchings. These two offline solutions are used to characterize an upper bound for the optimum in any scenario. This is done by identifying a cut whose value we can bound under the arrival distribution.

研究动机与目标

• 为了解决在 i.i.d. 模型下在线随机二分图匹配中长期未被突破的 $1 - 1/e$ 近似极限问题，尽管数十年来研究持续不断。
• 设计一种在线算法，使其在随机设置下优于贪婪算法与 Karp-Vazirani-Vazirani 的界限。
• 建立一个理论极限，证明在任意小的 $\epsilon$ 下，没有在线算法能实现 $1 - \epsilon$ 的近似，从而证明 $1 - 1/e$ 并非最优可能。
• 开发一种可推广的框架，利用离线解作为决策指导，适用于现实世界中的广告分配系统。

提出的方法

• 从期望的二分图构建增强流图，并计算最大流以识别可行解。
• 通过细致的流分解技术，将最大流分解为两个边不相交（近似）匹配。
• 在在线分配过程中按优先级使用两个离线匹配：先尝试第一个匹配，若失败则尝试第二个。
• 通过识别受离线解结构引导的场景图中的割，建立最优解的上界。
• 应用一种新颖的基于割的分析方法，以界定期望最优值，从而实现紧致的性能保证。
• 使用概率浓度不等式（如 Chernoff 不等式）证明在 i.i.d. 到达模型下的高概率性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 i.i.d. 在线随机二分图匹配模型中，是否存在一种在线算法能够实现严格优于 $1 - 1/e$ 的竞争比？
• RQ2 期望图的何种结构特性使得在在线随机设置下能够实现优于 $1 - 1/e$ 的近似？
• RQ3 在该随机设置下，是否存在在线算法所能接近最优解的理论极限？
• RQ4 双选择机制能否通过离线解分解有效应用于在线匹配？
• RQ5 如何不仅利用离线解指导在线决策，还能利用其对随机场景下的最优解进行上界界定？

主要发现

• 所提出的算法实现了 $\frac{1 - \frac{2}{e^2}}{\frac{4}{3} - \frac{2}{3e}} \approx 0.67$ 的竞争比，严格超过了 $1 - 1/e \approx 0.632$ 的界限。
• 分析是紧致的：通过构造一个实例，证明该算法恰好达到此竞争比，从而表明该界无法通过该方法进一步改进。
• 没有任何在线算法能对任意小的 $\epsilon$ 实现 $1 - \epsilon$ 的近似；具体而言，近似比与 1 的差距至少为 $26/27 \approx 0.99$。
• 利用增强流图与边不相交分解的双离线匹配方法，可实现比贪婪或单离线匹配策略更优的可证明性能。
• 源自离线解结构的基于割的上界技术，对于证明分析的紧致性与建立近似比至关重要。
• 该框架可推广至 $k$-匹配算法，理论界限分别为 $k=2$ 时的 $1 - \frac{2}{e^2} \approx 0.72$ 与 $k=3$ 时的 $1 - \frac{5}{e^3} \approx 0.75$，但 $k > 3$ 的推广仍为开放问题。