[论文解读] Online Stochastic Matching: New Algorithms and Bounds

Brian Brubach, Karthik Abinav Sankararaman+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Optimization and Search Problems参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文在已知 i.i.d. 到达模型下，针对边权和点权的二分图匹配问题，提出了改进的在线随机匹配算法，采用一种新颖的舍入技术，将分数线性规划（LP）解投影到 {0, 1/k, ..., 1} 中的结构化点上，以保持关键约束。主要成果是：一般边权情况下的竞争比达到 0.705，点权情况下的竞争比达到 0.7299，显著优于以往的界限。

ABSTRACT

Online matching has received significant attention over the last 15 years due to its close connection to Internet advertising. As the seminal work of Karp, Vazirani, and Vazirani has an optimal (1 - 1/e) competitive ratio in the standard adversarial online model, much effort has gone into developing useful online models that incorporate some stochasticity in the arrival process. One such popular model is the "known I.I.D. model" where different customer-types arrive online from a known distribution. We develop algorithms with improved competitive ratios for some basic variants of this model with integral arrival rates, including (a) the case of general weighted edges, where we improve the best-known ratio of 0.667 due to Haeupler, Mirrokni and Zadimoghaddam to 0.705; and (b) the vertex-weighted case, where we improve the 0.7250 ratio of Jaillet and Lu to 0.7299. We also consider an extension of stochastic rewards, a variant where each edge has an independent probability of being present. For the setting of stochastic rewards with non-integral arrival rates, we present a simple optimal non-adaptive algorithm with a ratio of 1 - 1/e. For the special case where each edge is unweighted and has a uniform constant probability of being present, we improve upon 1 - 1/e by proposing a strengthened LP benchmark.

研究动机与目标

• 在已知 i.i.d. 到达模型下，弥合在线随机匹配中最佳已知竞争比与理论下限之间的差距。
• 为具有整数到达率的边权和点权在线二分图匹配问题，设计更高效的算法。
• 改进文献中已确立的边权匹配 0.667 和点权匹配 0.7250 的竞争比。
• 探索使用更强的 LP 公式，通过增加有效约束来引导算法设计并提升性能保证。
• 研究在非整数到达率的随机奖励模型中，是否能够实现超过 1−1/e 的竞争比。

提出的方法

• 提出一种新的舍入框架，将分数 LP 解映射到坐标属于 {0, 1/k, 2/k, ..., 1} 的结构化解（k 为选定的整数）。
• 使用依赖随机舍入，以保持被移除约束的期望值，同时确保在匹配多面体上的可行性。
• 从单一 LP 解出发，引入一种双匹配构造，以增强边权设置下两选策略的威力。
• 通过增加有效约束来强化 LP 基准，以改善分数解，随后在舍入过程中保持集中性。
• 应用概率分析，证明在从初始分数解到结构化解的随机移动过程中，关键约束的期望值得以保持。
• 采用改进的 LP 公式，通过更紧的约束，指导非自适应与自适应算法在随机奖励与整数到达率下的设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在整数到达率下，能否实现边权在线随机匹配的竞争比超过 0.705？
• RQ2 在已知 i.i.d. 模型下，点权匹配的竞争比能否在 0.7250 以上得到改进？
• RQ3 在非整数到达率的随机奖励模型中，能否实现严格大于 1−1/e 的竞争比？
• RQ4 非自适应算法能否在非整数到达率的随机奖励模型中实现最优的 1−1/e 竞争比？
• RQ5 在点权与边权设置下，更严格的 LP 公式与更长的随机列表在依赖舍入中，能在多大程度上提升竞争比？

主要发现

• 本文在整数到达率下，实现了边权在线随机匹配 0.705 的竞争比，优于此前最佳的 0.667。
• 对于点权情形，竞争比提升至 0.7299，超过此前最佳的 0.7250。
• 提出一种非自适应算法，在非整数到达率的随机奖励模型中实现了最优的 1−1/e 竞争比。
• 对于具有均匀随机奖励的无权匹配，自适应算法实现了至少 0.702 的竞争比，超过此前认为紧致的 1−2e−2 界限。
• 所提出的舍入方法以高概率近似保持关键约束，且在期望下精确保持，从而支持更强的理论保证。
• 分析表明，当 f′_u ≥ ln2/2 时，竞争比下界为 0.702；当 f′_u ≤ ln2/2 时，下界为 0.8，整体保证了统一的下界 0.702。