[论文解读] Online Submodular Maximization Problem with Vector Packing Constraint

T-H. Hubert Chan, Shaofeng H.-C. Jiang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文提出了一种确定性 $ O(k/ε^2) $-竞争的算法，用于在 $\epsilon$-松弛假设下解决具有向量打包约束的在线子模最大化问题，其中每个维度上的物品权重被限制在 $1-\epsilon$ 以内。该算法在任意物品到达顺序和允许自由处置的情况下，实现了近乎最优的性能，且紧致的下界表明，对于确定性算法，$\Omega(k)$ 的竞争比是不可避免的，而对于随机化算法，则为 $\Omega(k/\log k)$。

ABSTRACT

We consider the online vector packing problem in which we have a $d$ dimensional knapsack and items $u$ with weight vectors $\mathbf{w}_u \in \mathbb{R}_+^d$ arrive online in an arbitrary order. Upon the arrival of an item, the algorithm must decide immediately whether to discard or accept the item into the knapsack. When item $u$ is accepted, $\mathbf{w}_u(i)$ units of capacity on dimension $i$ will be taken up, for each $i\in[d]$. To satisfy the knapsack constraint, an accepted item can be later disposed of with no cost, but discarded or disposed of items cannot be recovered. The objective is to maximize the utility of the accepted items $S$ at the end of the algorithm, which is given by $f(S)$ for some non-negative monotone submodular function $f$. For any small constant $ε> 0$, we consider the special case that the weight of an item on every dimension is at most a $(1-ε)$ fraction of the total capacity, and give a polynomial-time deterministic $O(\frac{k}{ε^2})$-competitive algorithm for the problem, where $k$ is the (column) sparsity of the weight vectors. We also show several (almost) tight hardness results even when the algorithm is computationally unbounded. We show that under the $ε$-slack assumption, no deterministic algorithm can obtain any $o(k)$ competitive ratio, and no randomized algorithm can obtain any $o(\frac{k}{\log k})$ competitive ratio. For the general case (when $ε= 0$), no randomized algorithm can obtain any $o(k)$ competitive ratio. In contrast to the $(1+δ)$ competitive ratio achieved in Kesselheim et al. (STOC 2014) for the problem with random arrival order of items and under large capacity assumption, we show that in the arbitrary arrival order case, even when $\| \mathbf{w}_u \|_\infty$ is arbitrarily small for all items $u$, it is impossible to achieve any $o(\frac{\log k}{\log\log k})$ competitive ratio.

研究动机与目标

• 解决在任意物品到达顺序下具有向量打包约束的在线子模最大化问题。
• 设计一种多项式时间的确定性算法，在 $\epsilon$-松弛假设下实现 $O(k/\epsilon^2)$ 的竞争比。
• 在在线向量打包设置中，建立确定性和随机化算法的紧致下界。
• 分析小物品权重对竞争比的影响，尤其是在无松弛条件下的情况。
• 证明即使在物品权重极小的情况下（即 $\|\mathbf{w}_u\|_\infty \to 0$），在任意到达顺序下，也无法实现 $o(\log k / \log \log k)$ 的竞争比。

提出的方法

• 提出一种新颖的在线算法，基于物品的边际收益和容量约束采用阈值策略，允许自由处置。
• 应用对偶拟合技术，在所有 $d$ 个维度上保持可行性，同时确保单调子模效用最大化。
• 采用稀疏感知设计，使算法性能依赖于 $k$，即每个物品非零坐标的最大数量。
• 利用 Yao 的原理，通过构造具有对抗性结构的物品序列硬分布，推导出下界结果。
• 设计一种多阶段物品生成过程，每个阶段在不断缩小的维度集合上引入具有重叠支持的物品，制造策略性冲突。
• 使用调和级数界分析期望性能，表明在最优离线选择下，期望保留的物品数仅为 $O(1/\epsilon)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\epsilon$-松弛假设下，确定性在线算法能否在向量打包约束下实现 $O(k/\epsilon^2)$ 的竞争比？
• RQ2 在 $\epsilon$-松弛假设下，确定性算法所能达到的最佳竞争比是多少？
• RQ3 在该设置下，$O(k/\epsilon^2)$ 的竞争比对确定性算法而言是否紧致（至多常数因子）？
• RQ4 随机化算法在该在线向量打包问题中的根本限制是什么？
• RQ5 在任意到达顺序下，子常数级物品权重（即 $\|\mathbf{w}_u\|_\infty \to 0$）是否能带来更好的竞争比？

主要发现

• 本文提出了一种在 $\epsilon$-松弛假设下，针对具有向量打包约束的在线子模最大化问题的确定性 $O(k/\epsilon^2)$-竞争算法。
• 在 $\epsilon$-松弛假设下，任何确定性算法都无法实现优于 $\Omega(k)$ 的竞争比，因此所提出的算法在常数因子范围内最优。
• 对于随机化算法，在 $\epsilon$-松弛假设下，任何算法都无法实现优于 $\Omega(k/\log k)$ 的竞争比。
• 在一般情况下 $\epsilon = 0$ 时，即使计算能力无限制，任何随机化算法都无法实现优于 $\Omega(k)$ 的竞争比。
• 即使所有物品权重都极小，任何算法在任意到达顺序下都无法实现优于 $o(\log k / \log \log k)$ 的竞争比。
• 通过 Yao 的原理，本文构造了一个硬分布，使得任何随机化算法的期望效用至多为 $O(\frac{\log \log d}{\log d}) \cdot \mathsf{OPT}$，从而证明了下界的紧致性。