[论文解读] Online vertex-weighted bipartite matching and single-bid budgeted allocations

Gagan Aggarwal, Gagan Goel+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2011

Optimization and Search Problems参考文献 13被引用 137

一句话总结

本文提出了一种针对在线顶点加权二分图匹配问题的随机化 (1−1/e)-竞争比算法，其中集合 U 中的顶点权重已知，而集合 V 中的顶点在线到达。该算法通过使用权重的乘法随机扰动来推广 Karp-Vazirani-Vazirani 算法，在一般权重下实现最优性，并在出价与预算相当的情况下解决了单次出价的预算分配问题。

ABSTRACT

We study the following vertex-weighted online bipartite matching problem: G(U, V, E) is a bipartite graph. The vertices in U have weights and are known ahead of time, while the vertices in V arrive online in an arbitrary order and have to be matched upon arrival. The goal is to maximize the sum of weights of the matched vertices in U. When all the weights are equal, this reduces to the classic online bipartite matching problem for which Karp, Vazirani and Vazirani gave an optimal (1−1/e)-competitive algorithm in their seminal work [10].Our main result is an optimal (1−1/e)-competitive randomized algorithm for general vertex weights. We use random perturbations of weights by appropriately chosen multiplicative factors. Our solution constitutes the first known generalization of the algorithm in [10] in this model and provides new insights into the role of randomization in online allocation problems. It also effectively solves the problem of online budgeted allocations [14] in the case when an agent makes the same bid for any desired item, even if the bid is comparable to his budget - complementing the results of [14, 3] which apply when the bids are much smaller than the budgets.

研究动机与目标

• 为当集合 U 中的顶点权重已知且集合 V 中的顶点在线到达时，开发一种在线顶点加权二分图匹配的最优算法。
• 将 Karp-Vazirani-Vazirani (1−1/e)-竞争比算法从等权重推广到任意顶点权重。
• 为随机化在具有通用权重的在线分配问题中的作用提供新见解。
• 在出价与预算相当的场景下解决单次出价预算分配问题，补充了以往针对小出价的研究。

提出的方法

• 对集合 U 中的顶点权重引入乘法随机扰动，以打破对称性并指导在线匹配决策。
• 使用一种随机化算法，将每个到达的集合 V 中的顶点分配给 U 中可用邻居中扰动后权重最高的顶点。
• 应用集中不等式，证明扰动后的权重在期望下保持 (1−1/e)-竞争力。
• 通过证明任何在线算法都无法在该问题中获得优于 (1−1/e)-竞争力，从而证明最优性。
• 利用在线二分图匹配问题的结构，将等权重情形下的结果推广至加权情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在具有任意顶点权重的在线顶点加权二分图匹配中实现 (1−1/e)-竞争力？
• RQ2 如何有效利用随机化将 Karp-Vazirani-Vazirani 算法推广到加权情形？
• RQ3 当出价与预算相当而非远小于预算时，在线分配算法的性能如何？
• RQ4 在加权在线二分图匹配模型中，乘法权重扰动是否能保持竞争力？

主要发现

• 所提出的算法在具有通用顶点权重的在线顶点加权二分图匹配中实现了 (1−1/e)-竞争力。
• 该算法是最优的，因为任何在线算法都无法在该问题中获得更优的竞争力。
• 使用乘法因子的随机扰动能有效将经典算法推广到加权情形。
• 该方法在出价与预算相当的情况下解决了单次出价预算分配问题，扩展了以往要求出价较小的研究结果。