[论文解读] Opérateurs d'entrelacement et algèbres de Hecke avec paramètres d'un groupe réductif $p$-adique - le cas des groupes classiques

Volker Heiermann|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 22

一句话总结

本文计算了 $p$-进经典群（辛群、正交群或一般线性群的内形式）的光滑表示范畴中某些诱导的投影生成元的自同态代数。利用伯恩斯坦的框架并分析交织算子，证明该代数同构于一个带参数的赫克代数与一个有限群代数的半直积，推广了已知结果，并为这些代数提供了显式结构。

ABSTRACT

For $G$ a symplectic or orthogonal $p$-adic group (not necessarily split), or an inner form of a general linear $p$-adic group, we compute the endomorphism algebras of some induced projective generators à la Bernstein of the category of smooth representations of $G$ and show that these algebras are isomorphic to the semi-direct product of a Hecke algebra with parameters by a finite group algebra. Our strategy and parts of our intermediate results apply to a general reductive connected $p$-adic group.

研究动机与目标

• 确定 $p$-进经典群的光滑表示范畴中诱导投影生成元的自同态代数的结构。
• 证明该代数同构于一个带参数的赫克代数与一个有限群代数的半直积。
• 将伯恩斯坦的范畴等价推广至经典群的显式代数同构。
• 验证所得代数结构与抛物诱导和雅克比特函子的相容性。
• 通过轨道空间上的正则函数基，提供自同态代数的显式实现。

提出的方法

• 利用伯恩斯坦在范畴 $Rep(^{W}\mathcal{O})$ 与 $\mathrm{End}_G(i_P^G \mathrm{ind}_{M^1}^M E_1)$ 上的右模范畴之间的等价关系。
• 应用交织算子理论及其在诱导表示上的作用，以分析自同态代数。
• 在轨道空间 $\mathcal{O}$ 上的正则函数环上构造自同态代数的一组基。
• 利用威尔群和有限群 $R(\mathcal{O})$ 的作用，定义半直积结构。
• 利用交织算子与抛物诱导及雅克比特函子的相容性，验证函子性。
• 依赖于莫利安与亚瑟已确立的经典群赫克代数参数化结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $p$-进经典群，诱导投影生成元 $i_P^G \mathrm{ind}_{M^1}^M E_1$ 的自同态代数的显式结构是什么？
• RQ2 自同态代数能否实现为一个带参数的赫克代数与一个有限群代数的半直积？
• RQ3 在 $R(\mathcal{O})$ 元素的共轭下，交织算子 $T_w$ 和 $J_r$ 如何相互作用？
• RQ4 所得代数同构是否与抛物诱导和雅克比特函子相容？
• RQ5 经典群中赫克代数的精确参数 $q^{a_{s_\alpha}+b_{s_\alpha}}$ 和 $q^{a_i - b_i}$ 是什么？

主要发现

• 自同态代数 $\mathrm{End}_G(i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}})$ 同构于半直积 $\mathbb{C}[R(\mathcal{O})]\ltimes \mathrm{H}(\Sigma_{\mathcal{O}}, \{q^{a_{s_\alpha}+b_{s_\alpha}}\}, \{q^{a_i - b_i}\})$。
• 经典群的赫克代数参数 $q^{a_{s_\alpha}+b_{s_\alpha}}$ 和 $q^{a_i - b_i}$ 已显式确定，其值已知于亚瑟–兰兰多理论。
• $R(\mathcal{O})$ 对威尔群元素的作用满足 $T_w J_r = J_r T_{r^{-1}wr}$，证实与半直积结构的相容性。
• 范畴 $Rep(^{W}\mathcal{O})$ 同构于所构造的半直积代数上的右模范畴。
• 范畴同构与抛物诱导及雅克比特函子相容，通过交织算子的函子性得到验证。
• 结果可推广至任意连通半单 $p$-进群，尽管一般情况下可能需要一个扭曲的群代数。