[论文解读] Opdam's hypergeometric functions: product formula and convolution structure in dimension 1

Jean-Philippe Anker, Fatma Ayadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 8被引用 32

一句话总结

本文为实轴上的Opdam超几何函数 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ 建立了一个乘积公式，将乘积 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(x)\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(y)$ 表示为对 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(z)$ 的积分，其核为显式表达、一致有界但不一定非负的函数。随后，通过关联的平移算子构造了卷积结构，并证明了 $L^p$-空间上的Kunze–Stein型现象，推广了Jacobi和Dunkl函数的相关结果。

ABSTRACT

Let $G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}$ be the eigenfunctions of the Dunkl-Cherednik operator $T^{(\\alpha,\\beta)}$ on $\\mathbb{R}$. In this paper we express the product $G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}(x)G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}(y)$ as an integral in terms of $G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}(z)$ with an explicit kernel. In general this kernel is not positive. Furthermore, by taking the so-called rational limit, we recover the product formula of M. R\\"osler for the Dunkl kernel. We then define and study a convolution structure associated to $G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}$.

研究动机与目标

• 推导实轴上Opdam超几何函数 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ 的乘积公式，其形式类比于Jacobi函数和Dunkl函数的已知公式。
• 基于所导出的乘积公式，定义并研究与 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ 相关的卷积结构。
• 在 $L^p$-空间上建立 $\ast_{\alpha,\beta}$-卷积的Kunze–Stein型现象。
• 在 $L^2(\mathbb{R}, A_{\alpha,\beta}(|x|)dx)$ 中构造一个正交基，推广Koornwinder的结果，并在有理极限下恢复Hermite函数。

提出的方法

• 通过微分关系将已知的Jacobi函数 $\varphi_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ 的乘积公式提升至 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$，从而推导出乘积公式。
• 将测度 $\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}$ 定义为乘积公式中的核，证明其为实值、紧支集且在 $x,y$ 上一致有界。
• 基于乘积公式引入平移算子 $\tau_x^{(\alpha,\beta)}f(y) = \int_{\mathbb{R}} f(z)\,d\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}(z)$。
• 定义卷积 $f \ast_{\alpha,\beta} g(x) = \int_{\mathbb{R}} \tau_x^{(\alpha,\beta)}f(-y)\,g(y)\,A_{\alpha,\beta}(|y|)\,dy$，并证明其满足交换律及傅里叶变换的乘法性质。
• 利用Opdam–Cherednik变换 $\mathcal{F}$ 证明 $\mathcal{F}(f \ast_{\alpha,\beta} g) = \mathcal{F}(f)\mathcal{F}(g)$，从而确认卷积结构的正确性。
• 通过涉及Dunkl–Cherednik算子 $T^{(\alpha,\beta)}$ 的Rodrigues型公式，在 $L^2(\mathbb{R}, A_{\alpha,\beta}(|x|)dx)$ 中构造正交基 $\{{\rm H}_n^\delta\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为实轴上的Opdam超几何函数 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ 建立乘积公式，使得 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(x)\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(y)$ 可表示为对 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(z)$ 的积分？
• RQ2 乘积公式中核 $\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}$ 的性质为何，特别是其正性和有界性？
• RQ3 如何利用乘积公式和关联的平移算子来定义并研究卷积结构？
• RQ4 在 $L^p$-空间上，$\ast_{\alpha,\beta}$-卷积是否满足Kunze–Stein型现象？
• RQ5 能否在 $L^2(\mathbb{R}, A_{\alpha,\beta}(|x|)dx)$ 中构造一个正交基，使其推广Koornwinder的基，并在有理极限下恢复Hermite函数？

主要发现

• 乘积公式 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(x)\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(y) = \int_{\mathbb{R}} \mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(z)\,d\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}(z)$ 成立，其中核 $\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}$ 为实值、紧支集且在 $x,y$ 上一致有界，但不一定是非负的。
• 该乘积公式的有理极限恢复了M. Rösler 所建立的Dunkl核的已知乘积公式。
• 通过 $\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}$ 定义的平移算子 $\tau_x^{(\alpha,\beta)}$ 满足 $\tau_x^{(\alpha,\beta)}f(y) = \int_{\mathbb{R}} f(z)\,d\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}(z)$，从而支持一致的卷积结构。
• 卷积 $f \ast_{\alpha,\beta} g$ 满足交换律，且满足 $\mathcal{F}(f \ast_{\alpha,\beta} g) = \mathcal{F}(f)\mathcal{F}(g)$，其中 $\mathcal{F}$ 为Opdam–Cherednik变换。
• Kunze–Stein型现象成立：当 $1 \leq p,q \leq \infty$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} \geq 1$ 时，$\ast_{\alpha,\beta}$-卷积将 $L^p \times L^q$ 映射到 $L^r$，其中 $\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} - 1$，在适当条件下成立。
• 在 $L^2(\mathbb{R}, A_{\alpha,\beta}(|x|)dx)$ 中，通过Rodrigues型公式构造了正交基 $\{{\rm H}_n^\delta\}$：$\mathrm{H}_n^\delta(x) = \tilde{\rm P}_n^\delta(T_x^{(\alpha,\beta)}) (\cosh x)^{-\alpha-\beta-\delta-2}$，其中 $\tilde{\rm P}_n^\delta$ 为算子 $T_x^{(\alpha,\beta)}$ 上的超几何多项式。