[论文解读] OPE inversion in Mellin space

Carlos Cardona|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文提出西蒙·卡隆-胡瓦特的OPE反演公式在梅林空间中的类比形式，利用梅林留数的正交性与多项式块，从梅林振幅的双重不连续性重构OPE系数。关键贡献在于在梅林空间中直接实现共形块展开的反演框架，具有处理交叉比奇点和通过单项式依赖简化计算的潜在优势。

ABSTRACT

The fundamental ingredients that build the observables in conformal field theory are the spectrum of operators and the OPE coefficients, or equivalently, the two- and three-point functions of the theory. Recently an inversion formula solving the OPE coefficients by a convolution over the light-cone double-discontinuities of the correlator has been found by Simon Caron-Huot. Taking into account that the same OPE data determine the Mellin amplitude representation of the correlator, motivate us to look for an analogous inversion formula in Mellin space, which we develops partially on this paper.

研究动机与目标

• 开发一种与卡隆-胡瓦特的交叉比公式类比的梅林空间OPE系数反演公式。
• 利用梅林留数与多项式块（如近似汉克尔多项式）的正交性重构OPE数据。
• 探究梅林空间是否通过单项式依赖简化不连续性计算，从而在计算效率上优于交叉比。
• 研究是否存在完全基于梅林空间的洛伦兹CFT表述，独立于位置空间或交叉比。
• 通过分析其与原始弗罗伊萨尔-格里博夫型公式的关联，理解反演公式的局限性，特别是针对低自旋算符（J=0,1）的情形。

提出的方法

• 利用梅林留数之间的正交关系，在梅林空间中反演共形块展开。
• 将多项式梅林块定义为包含Pochhammer符号及与共形维数和自旋相关的参数的超几何函数。
• 应用Barnes第一引理，计算涉及Gamma函数与多项式块的围道积分。
• 通过证明不同块类型之间的内积为零，以及在相同指标下计算归一化常数，推导出梅林块的正交性。
• 将交叉比中的双重不连续性转化为梅林变量中的零点，从而消除双重扭结贡献。
• 依赖于Mack多项式正交性的猜想，后者是推导中所用多项式块的推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够完全基于梅林空间中的留数正交性，重新表述OPE反演公式？
• RQ2 在计算效率与奇点处理方面，梅林空间反演公式与原始交叉比公式相比有何差异？
• RQ3 梅林空间中的双重不连续性起什么作用？它如何对应于双重扭结贡献的消除？
• RQ4 考虑到原始公式中围道变形的约束，该梅林空间反演公式对低自旋算符（J=0,1）是否仍然有效？
• RQ5 是否存在一种完全基于梅林空间的洛伦兹CFT表述，独立于位置空间或交叉比？

主要发现

• 通过超几何函数定义的梅林块在围道积分下表现出正交性，当块指标不同时内积为零。
• 相同指标下块的归一化常数为Γ(β−1)/[κβΓ(β/2+1)]，确认了正交性结构。
• 推导过程中使用了Barnes第一引理与高斯超几何级数求和，以计算围道积分并证明正交性。
• 交叉比中的双重不连续性被转化为梅林变量中的零点，有效消除了双重扭结贡献。
• 该方法表明，由于交叉比的单项式依赖，梅林空间可能简化不连续性的计算。
• 反演公式预计仅对高自旋算符有效，因其继承了原始公式在低自旋区域的局限性。