[论文解读] Open-closed Gromov-Witten invariants of 3-dimensional Calabi-Yau smooth toric DM stacks

Bohan Fang, Chiu-Chu Melissa Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文通过镜像对称与轨道化局部化方法，建立了一个关于三维 Calabi-Yau 光滑环面 Deligne-Mumford 堆栈相对于 Aganagic-Vafa 束的开-闭 Gromov-Witten 不变量的全面框架。该框架基于环面局部化与代数相对轨道化 Gromov-Witten 理论，证明了一个开镜像定理，将亏格零盘势能与镜像曲线的 Abel-Jacobi 映射联系起来，将先前针对光滑 Calabi-Yau 3-流形的结果推广至具有非平凡稳定子的轨道化情形。

ABSTRACT

We study open-closed orbifold Gromov-Witten invariants of 3-dimensional Calabi-Yau smooth toric Deligne-Mumford (DM) stacks (with possibly non-trivial generic stabilizers and semi-projective coarse moduli spaces) relative to Lagrangian branes of Aganagic-Vafa type. We present foundational materials of enumerative geometry of stable holomorphic maps from bordered orbifold Riemann surfaces to a 3-dimensional Calabi-Yau smooth toric DM stack with boundaries mapped into a Aganagic-Vafa brane. All genus open-closed Gromov-Witten invariants are defined by torus localization and depend on the choice of a framing which is an integer. We also provide another definition of all genus open-closed Gromov-Witten invariants based on algebraic relative orbifold Gromov-Witten theory; this generalizes the definition in Li-Liu-Liu-Zhou [arXiv:math/0408426] for smooth toric Calabi-Yau 3-folds. When the toric DM stack a toric Calabi-Yau 3-orbifold (i.e. when the generic stabilizer is trivial), we define generating functions of open-closed Gromov-Witten invariants or arbitrary genus $g$ and number $h$ of boundary circles; it takes values in the Chen-Ruan orbifold cohomology of the classifying space of a finite cyclic group of order $m$. We prove an open mirror theorem which relates the generating function of orbifold disk invariants to Abel-Jacobi maps of the mirror curve of the toric Calabi-Yau 3-orbifold. This generalizes a conjecture by Aganagic-Vafa [arXiv:hep-th/0012041] and Aganagic-Klemm-Vafa [arXiv:hep-th/0105045] (proved in full generality by the first and the second authors in [arXiv:1103.0693]) on the disk potential of a smooth semi-projective toric Calabi-Yau 3-fold.

研究动机与目标

• 为三维 Calabi-Yau 光滑环面 Deligne-Mumford 堆栈相对于 Aganagic-Vafa 束定义全亏格开-闭 Gromov-Witten 不变量。
• 通过代数相对轨道化 Gromov-Witten 理论推广开-闭不变量的定义，确保与复结构方向的一致性。
• 当一般稳定子平凡时，为环面轨道化构造取值于 Chen-Ruan 上同调的生成函数 $ F_{g,h}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $。
• 证明一个开镜像定理，将亏格零盘势能 $ F_{0,1}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $ 与镜像曲线的 Abel-Jacobi 映射联系起来。
• 将 Aganagic-Vafa 镜像猜想推广至轨道化情形，包含非平凡的一般稳定子与框架选择。

提出的方法

• 通过在从带边轨道化黎曼曲面到 $ \tilde{X} $ 的稳定全纯映射模空间上的环面局部化来定义开-闭不变量，其中边界映射到 Aganagic-Vafa 束 $ \tilde{L} $。
• 引入一个非零框架 $ f \neq 0 $ 作为不变量定义中的关键参数，影响生成函数与方向数据。
• 通过代数相对轨道化 Gromov-Witten 理论构造一种替代定义，确保与相对稳定映射模空间上复结构的规范方向一致。
• 当 $ \tilde{X} $ 为环面轨道化（即一般稳定子平凡）时，定义取值于 $ H^{*}_{\text{CR}}(\tilde{B}\boldsymbol{\nu}_{\frak{m}};\mathbb{C})^{\bigotimes h} $ 的生成函数 $ F_{g,h}^\tilde{X},(\tilde{L},f)} $，其中 $ \tilde{B}\boldsymbol{\nu}_{\frak{m}} $ 是 $ \boldsymbol{\nu}_{\frak{m}} $ 的分类空间。
• 通过逆拉普拉斯变换与 Barnes 型积分的留数分析，证明开镜像定理，将 $ F_{0,1}^{\tilde{X},(\tilde{L},f)} $ 与镜像曲线的 Abel-Jacobi 映射联系起来。
• 利用逆拉普拉斯变换将生成函数分解为两部分：$ h^+ $（以 $ (-X)^{1/f} $ 的幂次表示）与 $ h^- $（以 $ X $ 的幂次表示），并通过解析延拓与留数计算证明其系数一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有非平凡一般稳定子的三维 Calabi-Yau 光滑环面 DM 堆栈一致地定义开-闭 Gromov-Witten 不变量？
• RQ2 在轨道化情形下，相对开-闭不变量的正确代数几何表述为何？该表述应尊重规范复方向。
• RQ3 Aganagic-Vafa 开镜像对称猜想能否推广至具有非平凡 $ \boldsymbol{\nu}_{\frak{m}} $-gerbes 的环面 Calabi-Yau 3-轨道化情形？
• RQ4 框架选择 $ f \neq 0 $ 如何影响轨道化情形下的生成函数与镜像映射？
• RQ5 亏格零盘势能 $ F_{0,1}^{\tilde{X},(\tilde{L},f)} $ 的精确结构为何？其与镜像曲线 Abel-Jacobi 映射的关系如何？

主要发现

• 本文通过环面局部化方法，为相对于 Aganagic-Vafa 束的三维 Calabi-Yau 光滑环面 DM 堆栈构造了全亏格开-闭 Gromov-Witten 不变量，其中不变量依赖于一个框架 $ f \in \mathbb{Z} $。
• 通过相对轨道化 Gromov-Witten 理论提供了不变量的代数定义，确保与相对稳定映射模空间上复结构带来的规范方向一致。
• 对于环面轨道化（即一般稳定子平凡）的情形，生成函数 $ F_{g,h}^{\tilde{X},(\tilde{L},f)} $ 取值于 $ H^{*}_{\text{CR}}(\tilde{B}\boldsymbol{\mu}_{\frak{m}};\mathbb{C})^{\bigotimes h} \cong \mathbb{C}^{\frak{m}} $，推广了开不变量的状态空间。
• 证明了开镜像定理：$ F_{0,1}^{\tilde{X},(\tilde{L},f)} $ 通过涉及 Gamma 函数的 Barnes 型积分的逆拉普拉斯变换，与镜像曲线的 Abel-Jacobi 映射相关联。
• 证明了 $ y $ 在 $ X $ 中展开的系数与 $ \Gamma(u) $ 和 $ \Gamma(fu + \sum r_a l_a) $ 的留数一致，从而证明生成函数可分解为 $ h^+ + h^- $，其中 $ h^+ $ 捕获分数幂次，$ h^- $ 捕获整数幂次。
• 通过解析延拓将结果推广至所有实数 $ r_a $，表明系数公式在 $ r_1, \dots, r_k $ 的有理函数意义下普遍成立。