[论文解读] Open-Closed String Topology via Fat Graphs

Antonio Ramirez|ArXiv.org|Jun 20, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文利用一种新颖的开-闭胖图框架，在闭流形的自由环路空间与开弦路径空间的同调上构建了一个开-闭拓扑量子场论（TQFT）。该研究通过引入D-brane作为边界条件，将Cohen与Godin的弦拓扑TQFT扩展至开弦情形，利用umkehr映射与胖图标准型证明了弦拓扑运算的存在性。

ABSTRACT

Given a smooth closed manifold M with a family {L_i} of closed submanifolds, we consider the free loop space LM and the spaces PM(L_i,L_j) of open strings (paths g:[0,1]->M with g(0) in L_i, and g(1) in L_j). We construct string topology operations resulting in an open-closed TQFT on the family (h_*(LM),h_*(PM(L_i,L_j)) which extends the known string topology TQFT on h_*(LM). Here, h_* is a multiplicative generalized homology theory supporting orientations for M and the L_i. To construct the operations, we introduce the notion of open-closed fat graph, generalizing fat graphs to the open-closed setting.

研究动机与目标

• 将自由环路空间上的弦拓扑TQFT扩展至包含端点位于子流形（D-brane）上的开弦。
• 在环路空间与开弦路径空间的同调上定义一致的开-闭TQFT结构。
• 将胖图推广至开-闭情形，引入开-闭胖图为带有被D-brane标记的边界分量的曲面的组合模型。
• 在边界条件下通过庞特里亚金-托姆坍缩（umkehr映射）建立弦拓扑运算的存在性。
• 证明所得运算与cobordism的粘合相容，构成一个定义良好的开-闭TQFT。

提出的方法

• 引入开-闭胖图作为带有额外结构的有限图，用于编码具有边界的曲面，其中边界分量被D-brane标记。
• 利用曲面与胖图之间的同伦等价性，通过带有标记边界分量的胖图来建模开-闭cobordism。
• 应用庞特里亚金-托姆构造，为有限codimension包含映射定义umkehr映射（i!），从而定义弦拓扑运算。
• 开发一种算法，通过展开/坍缩操作将任意开-闭胖图约化为标准型，同时保持同伦型与边界结构。
• 基于活跃边与顶点的递归约化过程，坍缩最大活跃子树，并处理带标记的单度顶点与虚边。
• 利用引理A.3证明任意单顶点、单边界分量的胖图可转化为半边的规范循环序，从而实现标准型的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将弦拓扑TQFT扩展以包含端点被约束于子流形（D-brane）的开弦？
• RQ2 何种组合结构可推广胖图以建模带有标记边界分量的开-闭cobordism？
• RQ3 如何为开弦路径空间包含于带边界的曲面模空间的包含映射构造umkehr映射？
• RQ4 开-闭胖图的规范型是什么？如何通过图运算实现该规范型？
• RQ5 所得同调运算如何满足开-闭TQFT的公理，包括与粘合的相容性？

主要发现

• 本文在同调群族 $ h_*(LM) $ 与 $ h_*(P_M(L_i, L_j)) $ 上构造了一个定义良好的开-闭TQFT，扩展了已知的弦拓扑TQFT。
• 通过庞特里亚金-托姆坍缩确立了弦拓扑运算的存在性，其依赖于开-闭情形下包含映射的有限codimension性。
• 开-闭胖图框架为开-闭cobordism提供了组合模型，推广了闭弦拓扑中使用的胖图模型。
• 通过一系列展开与坍缩操作，实现了开-闭胖图的标准型，确保了唯一性与可计算性。
• 该构造与cobordism的粘合相容，证实了运算满足拓扑量子场论的公理。
• 本文证明了任一开-闭胖图均可通过图运算约化为标准型，其中带标记的单度顶点与锯齿状边被连续排列。